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Niveau Maths sup
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intégration (bio sup)

Posté par yonyon (invité) 14-02-06 à 12:01

Bonjour, j'ai un petit problème avec cet exercice:
Soit f et g deux donctions réelles continues sur un intervalle [a;b] (a<b)
1) En considérant l'application  \int_{a}^{b} {[f(t)+g(t)]^2} \,\text{d}{t}, montrer que :
( \int_{a}^{b} {f(t)g(t)} \,\text{d}{t}))^2 {} \, \leq \, {}  \int_{a}^{b} {f(t)^2} \,\text{d}{t}  \int_{a}^{b} {g(t)^2} \,\text{d}{t}
Dans quels cas a-t-on égalité?

J'ai essayé de developper et j'arrive alors à:
2 \int_{a}^{b} {f(t)g(t)} \,\text{d}{t} {} \, \leq \, {}  \int_{a}^{b} {f(t)^2} \,\text{d}{t} + \int_{a}^{b} {g(t)^2} \,\text{d}{t}
mais je ne vois pas comment continuer...
Pour le cas d'égalité, je ne vois pas trop quoi faire non plus

2) Pour tout u {} \, \in \, {} C([a,b],R), on pose ||u||= \sqrt{ \int_{a}^{b} {u(t)^2} \,\text{d}{t} } . Montrer que:
||f||+||g|| {} \, \leq \, {} ||f||+||g|| Etudier les cas d'égalité.

Je suppose que je dois me servir de la 1ère question, mais je ne vois pas trop comment m'y prendre...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par ptitjean (invité)re : intégration (bio sup) 14-02-06 à 13:23

salut,

c'est, si mes souvenirs sont bons, l'inégalité de Cauchy-Schwartz

pour la démontrer, il faut considérer :
I(\lambda)=\Bigint_a^{b} (f(t)+\lambda g(t))^2
I(\lambda)=\Bigint_a^{b} (f(t))^2 + 2 \lambda \Bigint_a^{b} g(t)f(t) + \lambda^2 \Bigint_a^{b} (g(t))^2

Or I0

Si le polynôme I est strictement positif, il ne s'annule pas sur et donc son discriminant est négatif

En calculant le discriminant, on obtient le résultat escompté.

Le cas d'égalité implique que le discriminant est nul, donc que I est nul, donc que l'intégrale d'une fonction positive est nulle et au finale, cette fonction est nulle. Il est résulte que le cas d'égalité s'obtient dans le cas où f et g sont 2 fonctions liées (f=kg, k)

Ptitjean


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