Niveau Maths sup

Intégration d'une fonction

Posté par
Nantais44 01-12-07 à 12:31

Bonjour!

auriez vous une piste à me donner pour intégrer:

^x₀ e^t[(x-t)ⁿ/n!].dt

Intégration par partie, ça ne fait que reporter le pb en n+1....

Merci

Posté par re : Intégration d'une fonction 01-12-07 à 12:33

Bonjour
fais la dans l'autre sens, l'intégration par partie, pour diminuer le degré du polynôme ....

Posté par re : Intégration d'une fonction 01-12-07 à 18:52

Oué mais maintenant jai un degrè n-1 donc ça ne m'avance pas bcp

Posté par re : Intégration d'une fonction. 01-12-07 à 22:09

Bonsoir ;

Si on note , pour $n\in\mathbb{N}$ et $x\in\mathbb{R}$ , $\fbox{R_n(x)=\int_{0}^{x}\;e^t\frac{(x-t)^n}{n!}dt}$ , une intégration par parties donne ,
pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et $x\in\mathbb{R}$ ,
$\fbox{R_n(x)=[e^t\frac{(x-t)^n}{n!}]_{0}^{x}+\int_{0}^{x}\;e^t\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}dt}$ c'est à dire $\fbox{R_n(x)-R_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}}$ et donc ,

$3$\blue\fbox{R_n(x)=R_{0}(x)+\Bigsum_{k=1}^{n}R_k(x)-R_{k-1}(x)=e^x-\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}}$ _{(sauf erreur bien entendu)}

$\fbox{\fbox{remarque}}$ _{On pourrait aussi appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale à l'ordre à la fonction exponentielle sur le segment}

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