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Intégration d'une fraction rationnelle

Posté par plaff (invité) 20-11-07 à 10:17

Bonjour,

J'ai un petit problème pour résoudre cette intégrale

4$\int \frac{1}{x^3-1} dt

Ce que j'ai fait pour tenter de résoudre :

Factorisation par la racine évidente x0 = 1

4$\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Puis décomposition en éléments simples
4$\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^2+x+1})
Le problème c'est que je ne vois pas la primitive de
4$\frac{x+2}{x^2+x+1}
Merci de votre aide

Posté par
raymond CorrecteurIntégration d'une fraction rationnelle 20-11-07 à 11:32

Bonjour.

Cela se fait en deux temps :

1°) on fait apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur :

3$\textrm\fra{x+2}{x^2+x+1} = \fra{1}{2}\times\fra{2x+4}{x^2+x+1} = \fra{1}{2}\times\fra{2x+1 + 3}{x^2+x+1}

2°) on partage en deux intégrales et dans la seconde on fait apparaître la forme canonique du dénominateur

3$\textrm\fra{x+2}{x^2+x+1} = \fra{1}{2}\times\fra{2x+1}{x^2+x+1} + \fra{1}{2}\times\fra{3}{(x+\fra{1}{2})^2+\fra{3}{4}}

La première s'intègre en logarithme, la seconde en arctangente.

A plus RR.

Posté par plaff (invité)re : Intégration d'une fraction rationnelle 20-11-07 à 12:26

Merci Raymond j'ai compris

A+


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