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integration d'une inégalité
bonjour, voici mon problème
1- étudier variations de f(x)= e^-x+x-1 et g(x)= 1-x+(x²/2)-e^-x
en déduire que pour tout x de [0;1] on a
1-x < e^-x < 1-x + x²/2
2- déduire de la question précédente un encadrement de e^-x² pui montrer que pour tout x de [0;1] on a
1-x< e^-x²/(1+x) < 1-x +(x^4/2(1+x)).
j'ai trouvé que f(x) et g(x) sont toutes les deux croissantes et après je bloque. j'ai beaucoup de mal avec les encadrements.
quelqu'un peut il m'aider. je planche dessus depuis tout l'après midi; je dois rendre le devoir demain.
Merci d'avance
Bonjour 
1) Tu as trouvé que f est ainsi que g. Tu as presque fait tout le travail pour cette question. En effet, par exemple, concentrons nous sur f. Tu as montré qu'elle est croissante sur [0,1] donc sa plus petite valeur est prise en 0 et f(0) = 0
Donc pour tout x dans [0,1] , f(x) > 0 soit exp(-x)+x-1 > 0 , 1-x < exp(-x)
ok ?
Fait de même avec g, c'est exactement pareil !
La question 2) découlera de la première.
En effet, comme x est dans [0,1], x² est aussi dans [0,1], donc tu as l'encadrement :
1-x² < exp(-x²) < 1-x + x²/2
Et donc en divisant partout par x+1 (>0) :
(1-x²)/(1+x) < exp(-x²)/(1+x) < (1-x + x²/2)/(1+x)
Puis pense à a²-b² = (a+b)(a-b)
A+
Oups mauvais copié - collé 
En effet, comme x est dans [0,1], x² est aussi dans [0,1], donc tu as l'encadrement :
1-x² < exp(-x²) < 1-x² + x4/2
Et donc en divisant partout par x+1 (>0) :
(1-x²)/(1+x) < exp(-x²)/(1+x) < (1-x² + x4/2)/(1+x)
Puis pense à a²-b² = (a+b)(a-b)
Merci beaucoup.
j'ai hésité à le faire pensant que j'étais sur la mauvaise route.
super cool ce forum
:D
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