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Integration dans L1

Posté par
suistrop 13-12-06 à 00:55

Salut

Soit 4$\blue\fbox{f_n=(-1)^ne^{-nx}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}}

On me demande de montrer que 3$\red\Bigsum_{n\le1} f_n diverge dans \mathbb{L}^1

Merci !

Posté par
suistropre : Integration dans L1 13-12-06 à 00:57

Avec le x si ca vous aide^^
4$\blue\fbox{f_n(x)=(-1)^ne^{-nx}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)}

Posté par
suistropre : Integration dans L1 13-12-06 à 01:09

Je ne sais plus ecrire il faut montrer quelle Converge dans \mathbb{L}^1

Posté par
suistropre : Integration dans L1 13-12-06 à 01:24

Voici mon idée :
on a :

4$\blue\fbox{f_n(x)=(-1)^ne^{-nx}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)}

donc f_k(x)=f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)

2$f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)=1e^{-2kx}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)-1e^{-(2k+1)x}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)

2$=e^{-2kx}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)~~(1-e^{-x}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x))

car 2$e^{-(2k+1)x}=e^{-x}e^{-2k}

et \mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x) tend vers 0
et e^{-x}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x) tend vers 1
donc 2$=e^{-2kx}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)~~(1-e^{-x}\mathbb{1}_{]-1;+\infty[}(x)) tend vers 0
donc ca converge car somme de 0 = 0


Posté par
stokastikre : Integration dans L1 13-12-06 à 09:01


Montrer qu'une suite de fonctions (f_n) converge dans L^1 signifie qu'il existe une fonction f telle que || f_n-f||_{L^1}\to 0 quand n\to\infty où la norme L^1 est définir par || g||_{L_1}=\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x)|dx.

Pour montrer qu'une suite de fonctions converge dans L^1 on utlise souvent le théorème de convergence dominée.

Posté par
suistropre : Integration dans L1 13-12-06 à 19:31

Merci stokastik de t y etre pencher,
Il fallait en faite utiliser les suites de cauchy car L^1 est complet donc toute suite de cauchy converge (ici c'était avec les sommes partiels).


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