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intégration de fonctions rationelles

Posté par
HighSchool2005 26-02-07 à 11:05

Bonjour,

je dois intégrer :
\frac{1}{(x^4+1)^2}
C'est vraiment beaucoup de calculs.

(x^4 + 1)^2 = (x-sqrt(i))^2(x+sqrt(i))^2(x-i sqrt(i))^2(x+i sqrt(i))^2

Il y a donc 8 constantes à trouver A, B, C, D, E, F, G, H

\frac{1}{(x^4 + 1)^2} = \frac{A}{x-sqrt(i)} + \frac{B}{(x-sqrt(i))^2} + \frac{C}{x+sqrt(i)} + \frac{D}{(x+sqrt(i))^2} + \frac{E}{x-i sqrt(i)} + \frac{F}{(x-i sqrt(i))^2} + \frac{G}{x+i sqrt(i)} + \frac{H}{(x+i sqrt(i))^2}

Je trouve B = D = \frac{i}{16} \\ F = H = \frac{-i}{16}

Ensuite, j'ai posé x = 0 et je trouve ce système :
A - C = -1 + \frac{2 sqrt(i)}{16} \\ G-E = 2/16

Ensuite, je suis bloquée car je voudrais éviter de réduire tout au même dénominateur mais trouver quelque chose de plus simple pour avoir 2 équations supplémentaires et trouver A, C, G et E.
Pourriez-vous m'aider ? Et si vous pensez à quelque chose de moins long, faites moi signe !
Merci

Posté par
raymond Correcteurintégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 11:11

Bonjour.

Tu dois intégrer entre deux valeurs ?
Connais-tu l'intégration des fonctions complexes ?

A plus RR.

Posté par
Philippe101re : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 11:19

bonjour,

as tu utilisé la parité de la fonction (qui donne sûrement des résultats)?

Posté par
HighSchool2005re : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 11:38

non je ne dois pas intégrer entre 2 valeurs, juste trouver la primitive

Je pensais que je devais décomposer ma fraction en éléments simples
je n'ai pas utilisé la parité (je n'y ai pas pensé) Comment faire ? Est-ce le fait que les A... H sont conjugués deux à deux ?

Posté par
Philippe101re : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 11:54

si F(x) est ta fraction alors F(x)=F(-x).
dans ta décomposition des numérateurs vont donc être égaux.

tu as aussi la possibilité d'utiliser des limites.
multiplie le tout par x et cherche la limite en OO...par exemple

Posté par
HighSchool2005re : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 12:16

pour les limites j'ai fait ça pour trouver certains des numérateurs
je vais essayer la parité

Posté par
raymond Correcteurre : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 14:31

Il me semble que l'on peut faire moins de calculs en écrivant :

3$\textrm\frac{1}{(x^4 + 1)^2} = \frac{x^4 + 1 - x^4}{(x^4 + 1)^2} = \frac{1}{x^4 + 1} - \frac{x}{4}\times{\frac{-4x^3}{(x^4 + 1)^2}}
puis, faire un intégration par parties du second terme.

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 14:52

Désolé, faute de frappe dans l'écriture : lire " + " entre les deux fractions.

Cela conduit à :

3$\textrm I = \frac{x}{4(x^4+1)} + \frac{3}{4}\Bigint\frac{dx}{x^4+1}

Cette fois sans faute à priori.

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 15:10

Je trouve :

3$\textrm I = \frac{x}{4(x^4+1)} + \frac{3\sqrt{2}}{32}ln\Big(\frac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\Big) + \frac{3\sqrt{2}}{16}Arctan(x\sqrt{2}+1) + C

A plus RR.

Posté par
HighSchool2005re : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 18:38

merci Raymond pour ce raccourci. Je ne comprends pas comment tu trouves la dernière partie. Perso, pour trouver la primitive de \frac{1}{x^4+1} j'ai : \\ \frac{sqrt(i)}{4} ln(\frac{x+sqrt(i)}{x-sqrt(i)}) + \frac{i sqrt(i)}{4} ln(\frac{x+i sqrt(i)}{x-i sqrt(i)})

en utilisant la décomposition en éléments simples.

Quelle méthode as-tu utilisée ? (je ne suis pas une fan des complexes alors si on peut s'en passer, ça m'arrangerait...)

Posté par
raymond Correcteurre : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 19:02

3$\textrm\frac{1}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2-x\sqrt{2}+1} + \frac{Cx+D}{x^2+x\sqrt{2}+1}

Même si tu n'es pas fan des complexes, ici, cela vaut la peine.

¤ Si x = i, en identifiant les parties réelle et imaginaire on trouve : C - A = \frac{\sqrt{2}}{2} et B = D
¤ en multipliant par et en faisant tendre x vers l'infini : A + C = 0
¤ en prenant x = 0 : B + D = 1.

Donc :

3$\textrm\frac{1}{x^4+1} = \frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2-x\sqrt{2}+1} + \frac{\frac{\sqrt{4}}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+x\sqrt{2}+1}

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : intégration de fonctions rationelles 26-02-07 à 22:32

Erreur LaTeX : le numérateur de la 2ème fraction est : \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{1}{2}

A plus RR.


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