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intégration et convergence de suite
Bonjour,
je bloque sur un exercice depuis hier, et j'espère que quelqu'un pourra m'aider à le résoudre.
Voici le problème :
Soit f:[0,1]
une application continue.
On définit: 
n 
, In=
01 nf(t)e-nt dt
1) Soit 
>0. Démontrer qu'il existe 
>0 tel que : 0 n|f(t)-f(0)|e-ntdt<(/3)
2)Démontrer, en utilisant la définition de convergence d'une suite, que (In)n converge vers f(0).
J'ai déja trouvé que pour la question 1, il faudrait utiliser le fait que f est une applicaiton continue sur un segment donc d'après le théorème de Heine , f est uniformément continue. Ainsi on pourrait utiliser l'assertion d'uniforme continuité pour f. Mais je n'arrive pas à passer aux intégrales.
Pour la question 2, je pense qu'il faut utiliser l'assertion de continuité de la question précédente (en sachant que si une application admet une limite alors elle est continue)et le fait que le module de l'intégrale d'une fonction est inférieur ou égal à l'intégrale du module de la fonction. Mais la je n'arrive pas à passer des intégrales aux fonctions.
Pourriez-vous m'aider à aboutir s'il vous plait.
Tibato
Bonjour Tibato
pour la question 1), je en pense pas que c'est l'uniforme continuité qu'il faut utiliser même si c'est juste.
En fait, la continuité en 0 suffit.
Kaiser
en sachant que si une application admet une limite alors elle est continue)
ça serait plutôt le contraire.
Kaiser
bonjour Kaiser,
c'est pourtant :" f est continue en a SI f admet une limite finie en a ." ( c'est ce qui est écrit dans mon cours).
Mais même en utilisant uniquement la continuité, je ne trouve pas comment on peut passer des fonctions aux intégrales dans les assertions.
l'assertion de continuité est la suivante:
xI,>0,
>0,yI, (|y-x|<
|f(x)-f(y)|<)
Par quel procédé a-t-on le droit de passer aux intégrales dans cette assertion, si on a le droit?Sinon je ne vois vraiment pas comment faire...
Tibato
c'est pourtant :" f est continue en a SI f admet une limite finie en a ." ( c'est ce qui est écrit dans mon cours).
C'est totalement faux ! Cette limitedoit être égal à f(a).
Essaie de demander confirmation à ton prof.
Par ailleurs, au lieu d'utiliser la continuité uniforme utilise plutôt la continuité en 0.
Par quel procédé a-t-on le droit de passer aux intégrales dans cette assertion, si on a le droit?Sinon je ne vois vraiment pas comment faire...
tu sais que si f et g sont deux fonctions tels que f est inférieure à g alors l'intégrale de f est inférieure à celle de g.
Kaiser
ah oui d'accord merci.
Je vais essayer de continuer l'exercice avec cette piste et je vous tiens au courant de ma progression.
Tibato
Enfait j'ai trouvé la réponse à la question 2 , mais pas moyen d'aboutir à la question 1, j'écris l'assertion de continuité et après je suis complètement coincé.
Est-ce que vous pourriez m'aider un peu s'il vous plait pour que je puisse avancer.
Tibato
Par continuité de f en 0, on sait qu'il existe un certain tel que pour tout t ,
.
Ensuite, il suffit d'intégrer entre 0 et .
Tu devrais pouvroir obtenir le résultat souhaité.
Kaiser
ah oui d'accord!!je ne comprenais pas ce que vous me disiez 
Merci beaucoup pour votre aide 
Tibato
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