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Intégration et Densité d’un ensemble dans [0,1]
Bonjour et merci de lire
En fait j'ai un problème sur un exercice l'énoncé est le suivant
Soit f ∶ [0,1] → R définie par f(x) = 1 si ∃(k,n)∈
2, x= k/2n et f(x)=0 sinon. Montrer que f n'est pas intégrable sur [0,1].
En fait ,l'auteur du document dans lequel j'ai pris l'exercice a donné des indications :
« L'ensemble des k/2n est dense dans [0,1], le complémentaire (qui contient les irrationnels) aussi. Puis même argument que la fonction caractéristique de Q. »
Quand on dit que « L'ensemble des k/2n est dense dans [0,1] »
Je pense que ça voudrait que pour 2 éléments pris entre 0 et 1 on peut toujours construire une fraction de la forme k/2n entre les 2 éléments .Mais en fait je sais pas comment on pourrait démonter cela ,Je visualise mais j'arrive pas à démontrer cela svp
Et aussi quand on dit que « le complémentaire (qui contient les irrationnels) aussi »
Déjà le complémentaire ne contient-il que des irrationnels ?parceque j'ai l'impression que c'est ça que ça signifie?Et pourquoi ce complémentaire est aussi dense dans [0,1]?
Et enfin en quoi le fait que l'ensemble des k/2n soit dense dans [0,1] va m'aider?
Merci beaucoup de m'aider
salut
il serait peut-être sympa de répondre aux deux précédents fils ...
tout rationnel s'écrit-il k/22 ?
un irrationnel peut-il s'écrire k/2n ?
il est aisé de montrer qu'il existe un rationnel de la forme k/2n entre deux réels quelconques x et y de l'intervalle [0, 1]
il suffit de considérer les n tels que l'intervalle [2nx, 2ny] contient un entier ...
(Oui désolée Caperdiem j'ai répondu aux autres fils juste que mes réponses étaient longues c'est pour ça que ça m'a pris du temps )
tout rationnel s'écrit-il k/22 ?
un irrationnel peut-il s'écrire k/2n ?
Je ne pense pas mais pourquoi ce n'est pas le cas?
il suffit de considérer les n tels que l'intervalle [2nx, 2ny] contient un entier ...
tout rationnel s'écrit-il k/2n ?
un irrationnel peut-il s'écrire k/2n ?
Je ne pense pas mais pourquoi ce n'est pas le cas?
c'est un très bon exercice !
Tout rationnel ne peut pas s'écrire sur la forme k/2n car on a le contre exemple de 1/3
Ce qui voudrait dire que le complémentaire de l'ensemble des k/2n peut contenir des rationnels?contient même des rationnels je veux dire.(je me trompe?)
Et je pense qu'il n'existe aucun irrationnel qui se mette sous la forme de k/2n car la définition même d'un irrationnel est qu'il ne puisse pas se mettre sous la forme d'un rapport d'entier
En conclusion je pense que tous les k/2n sont des rationnels mais toute fois tout rationnel ne se met pas sur cette forme
Ainsi le complémentaire des k/2n contient à la fois des rationnels et irrationnels
C'est bien ça ?
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