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Intégration et fonctions lipschitziennes
Bonjour et merci de me lire
En fait j'ai un problème sur un exercice d'intégration sur lequel je ne parviens pas à démarrer
Voici l'énoncé
Montrer que si f ∶ [0,1] → R est intégrable, et g ∶ R → R est lipschitzienne, alors g ○f est intégrable.
En fait le document dans lequel j'ai trouvé l'exercice avait des indications et l'indication était la suivante :
« Approximer f par des fonctions en escalier, et composer par g. Comme g n'est pas monotone, bien choisir la forme de l'approximation initiale. Un encadrement n'est peut-être pas le bon point de départ. »
J'ai un soucis quand il est dit que « comme g n'est pas monotone », En fait est ce qu'on a une information sur g?Pourquoi elle n'est pas monotone,est-ce parce qu'elle est lipschitzienne?Mais je n'arrive pas à visualiser le lien.Merci
Ensuite comment approximer si ce n'est pas par l'encadrement🤔, vu que ce n'est apparemment pas le bon pont de départ .
Merci beaucoup
salut
une fonction lipschitzienne n'a aucune raison d'être monotone (et réciproquement).
peux-tu rappeler la définition d'une fonction lip. ?
ensuite à mon avis l'idée est de choisir une subdivision [x1, x2, ... , xn] pour f telle que g soit monotone sur chaque intervalle [f(xi), f(xi + 1)]
et c'est toujours possible
alors avec la définition demandée il sera facile de montrer l'intégrabilité de g o f ...
salut
une fonction lipschitzienne n'a aucune raison d'être monotone (et réciproquement).
peux-tu rappeler la définition d'une fonction lip. ?
D'accord
Soit un réel k
0
Une fonction f définie de I vers R est dite k-lip. Si et seulement si
(x,y)
I2 ,|f(x)-f(y)|
k|x-y|
Ça signifie qu'une fonction lip. en fait n'a aucune raison d'être monotone mais il peut quand même exister des fonctions lipschitziennes monotones ; et donc pour éviter de prendre des cas particulier on prend une subdivision de [0,1] Pour laquelle g sera monotone sur [f(xi),f(xi+1)]?(J'ai bien compris?)
Maintenant je ne comprends pas pourquoi « c'est toujours possible »
Et quand c'est toujours possible ,au moment de rédiger je dirai juste « soit
une subdivision de [0,1] Pour laquelle g sera monotone sur [f(xi),f(xi+1)] » et je continuerai?ou alors il y'a encore une autre information à donner sur la subdivision?
D'accord j'essaye de démontrer l'intégralité avec cela et je partage dès que possible
Merci beaucoup
Et aussi comme dans les indications de l'exercice il est dit d'approximer f à une fonction en escalier, le fait de choisir une subdivision adaptée à f c'est déjà l'approximation n'est ce pas?
Et c'est donc à ce niveau qu'on a utilisé l'hypothèse de l'intégrabilite de f, car si f est intégrable alors on peut confondre f a une fonction en escalier?
Je ne sais pas si je comprends bien
Merci encore.
ensuite à mon avis l'idée est de choisir une subdivision [x1, x2, ... , xn] pour f telle que g soit monotone sur chaque intervalle [f(xi), f(xi + 1)]
et c'est toujours possible
tu obtiens alors une subdivision plus fine et donc une fonction toujours étagée v qui peut éventuellement prendre la même valeur sur deux intervalles consécutifs ...
si f est intégrable sur l'intervalle [a, b] elle le reste sur tout sous-intervalle de [a, b] ...
quelle est la définition d'une fonction intégrable ?
Bonjour à vous deux,
Une petite remarque en passant , même plus une subtilité : encore faut-il montrer qu'une fonction lipchitzienne sur un segment ne change de monotonie qu'un nombre fini de fois
Je ne comprends vraiment rien , vous voulez parler de fonction en escalier ou fonction étagée .J'ai lu qu'une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable ,sauf que je n'en ai jamais entendu parler et puisque une fonction en escalier est une fonction étagée je me demande si c'est de ça que vous parlez?
Je ne comprends pas vraiment le raisonnement
(Je viens tout juste de démarrer le chapitre,j'ai juste les bases de ma Terminale et quelques notions basiques de la 1 ère Année en classe prépa )
Une fonction intégrable est une fonction dont l'intégrale est définie et finie.(J'ai lu cela sûr Wikipedia)
Vous pouvez être plus claire svp?🙏🏽
Je me permets de répondre à la place de Carpediem, qui je pense sera du même avis que moi ...
Qu'elle est ta définition d'une fonction dont l'intégrale est finie ? Sais-tu la définir avec les fonctions en escaliers ? Si non, tu n'arriveras pas à faire l'exercice
Je pense que si je veux définir cela dans ce cas je vais parler de l'intégrabilité dans le sens de Riemann
Une fonction f définie de [a,b] vers R est Riemann-intégrables 
>0 il existe deux fonctions en escaliers u et v telles que ufv et 
(u-v)(x)dx
(L'intégrale de a à b)
tout comme Zrun (merci) je pense que tes connaissances sont bien fragiles pour que cet exercice t'apporte quelque chose
il manque un si dans ta définition ...
il manque un si dans ta définition ...
Oui intégrable si*
tout comme Zrun (merci) je pense que tes connaissances sont bien fragiles pour que cet exercice t'apporte quelque chose
Mais j'aimerais comprendre ce qu'il faut faire svp🙏🏽
Ce n'est pas un devoir ou quoi que ce soit j'ai juste envie de me cultiver 🙏🏽
c'est très bien mais alors commencer par consolider tes bases en travaillant peut-être plutôt des exercices d'application plus directe des cours qu'il faut aussi bien s'approprier ...
mais i tu veux continuer déjà la première chose : as-tu fait un dessin représentant la situation avec f et une subdivision quelconque et à côté un dessin d'une fonction g lip. ?
Ok et donc sur la fonction que tu as tracé , quels sont les points où on va devoir faire attention (cf l'indication de ton premier post)?
Non je t'aide un peu : des points où la courbe de fait quelque chose en particulier . Carpediem avait déjà commencé à te souffler l'idée ...
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