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intégration et séries

Posté par
hajer123456 08-10-17 à 19:53

salut tout le monde, j'ai des difficultés à répondre à cet
exercice :
f de classe C1 surR+ à valeurs strictement positives . on suppose qu'en l'infinie f'(x)/f(x) tend vers l on considère la série de terme général f(n) on note Sn suite des sommes partielle et Rn suite des restes quand la serie converge on associe à f 2 applications u et v continues par morceaux suŕ R+ et définies par pour tout n N* et tout x [n-1,n [ u(x)= f(n) et v(x)= \int_{n-1}^{n}{f (t)dt}
on pose pour tout x R+ h(x)= e-lx f(x)
1) soit >0 fixé  justifierl'existanced'un n0
N* tq nn0 ett [n-1,n ] on ait|h (t )-h (n )| (e -1) h(n)
2) on suppose dans cette question que l 0 déduie que ninfinie \int_{n-1}^{n}{f (t) dt }~ (1-e-l)/l f(n)
3) on suppose que l non nulle
a) exprimer pour k N*
\int_{k-1}^{k}{v(t) dt} et \int_{k-1 }^{k}{u(t) dt}
b) a l'aide de l'intégration des relations de comparaison etablir
- si f in tegrable sur R+ alors la serie de terme général f(n) converge et on a quand n tend vers l'infinie Rn~ l/(1-e-l) \int_{n}^{infinie}{f(t) dt}
-si f n'est pas intégrable surR+ alors la serie de terme général f(n) diverge et pour n tend vers l'infinie Sn ~ l/(1-e-l)\int_{0}^{n}{f (t)dt}
merci d'avance

Posté par
carpediemre : intégration et séries 08-10-17 à 20:43

salut

1/ le TAF ?

Posté par
hajer123456re : intégration et séries 08-10-17 à 21:21

carpediem 1)je pense qu'on devrait utiliser h'/h j'essaye mais j'arrive pas

Posté par
luzakre : intégration et séries 08-10-17 à 22:15

Si h(x)=e^{-\ell x}f(x) tu as h'(x)=e^{-\ell x}f(x)\Bigl(\dfrac{f'(x)}{f(x)}-\ell\Bigr)

Posté par
hajer123456re : intégration et séries 08-10-17 à 23:43

luzak le problème c'est que je trouve pas la même inégalite en utilisant la définition de la limite en l'infinie de f'(x)/x je trouve n0n tq |h(t)-h(n)| h(n) je comprends pas d'ou provient 1-e

Posté par
luzakre : intégration et séries 09-10-17 à 09:46

Tu voulais calculer \dfrac{h'}h il faut l'utiliser.
1. Cette fonction a pour limite 0 en +\infty donc majorée en valeur absolue par \varepsilon
2. C'est la dérivée de  ??
3. Comme t'a dit carpediem l'inégalité des accroissements finis est utile

Posté par
situyore : intégration et séries 09-10-17 à 11:12

C'est l'utilisation du TAF qui finalisera ...

Posté par
luzakre : intégration et séries 09-10-17 à 11:39

hajer123456 @ 08-10-2017 à 23:43

luzak le problème c'est que je trouve pas la même inégalite en utilisant la définition de la limite en l'infinie de f'(x)/x je trouve n0n tq |h(t)-h(n)| h(n) je comprends pas d'ou provient 1-e

Si tu es sûr de ta démonstration (que je ne connais pas, mais j'ai des doutes sérieux!) tu as fini car \varepsilon\leqslant e^{\varepsilon}-1

Posté par
hajer123456re : intégration et séries 14-10-17 à 19:52

luzak
salut désolée pour le retard j'étais hors ligne.. bon je comprends pas comment le taf va servir j'ai essayer et ça va donner n0 [n-1,n ] tq h(n)-h(n-1) =h'(n0)

Posté par
ferrrre : intégration et séries 14-10-17 à 22:11

salut , moi aussi je suis bloqué en 1)
j'ai essayé |h'(x)/h(x)|=|f'(x)/f(x) - l | \epsilon
mais je ne sais pas qu'est ce qu'il faut faire par suite aider moi svp

Posté par
luzakre : intégration et séries 15-10-17 à 10:31

Ben j'ai oublié ce que j'avais trouvé !

En fait tu as le bon truc (en ajoutant que ton inégalité est vraie pour x assez grand) !
L' inégalité des accroissements finis entre n-1,\;t appliquée à g : x\mapsto\ln(h(x)) te donne |\ln h(t)-\ln(h(n))|\leqslant \varepsilon.

Puis tu as l'encadrement e^{-{\varepsilon}}\leqslant\Bigl\lvert\dfrac{h(t)}{h(n)}\Bigr\rvert\leqslant e^{\varepsilon} et, pour majorer |h(t)-h(n| tu utilises (en le démontrant) e^{\varepsilon}-1>-e^{-{\varepsilon}}+1

Posté par
luzakre : intégration et séries 15-10-17 à 10:33

Euh !
L'inégalité des accroissements finis est à appliquer entre t et n (en supposant n-1\leqslant t\leqslant n.

Posté par
hajer123456re : intégration et séries 15-10-17 à 12:07

luzak merci beaucoup  pour la 2ème question comment je dois montrer que lim( v(x)/u(x) )×( l/(1-e-l)) =1

Posté par
luzakre : intégration et séries 15-10-17 à 15:05

Encore une rédaction pour devins ! Qui sont les u,v ? Limite pour quelle(s) variable(s) ?
..............................................................
S'il s'agit de l'énoncé du début il y a une étude d'équivalents de suites ! Où les as-tu mises dans ton résumé (si on peut appeler ça un résumé) ?
................................................................................
Pourquoi, sitôt sorti de le prime enfance mathématique (je veux dire la Terminale), n'apprend-on pas que l'équivalence est une étude de différence plus que de quotient ?
Certes c'est presque (pour certains le "presque" est une diabolisation de matheux) la même chose mais c'est un domaine où le "presque" engendre bien des complications.

Bref, dans ton cas je te suggère d'étudier la différence \int_{n-1}^nf-\dfrac{1-e^{-\ell}}{\ell}f(n) en remarquant que ce qui vient avant le f(n) est une intégrale de bornes n-1,n.
Tu te ramèneras ainsi à une intégrale où apparaît la différence h(t)-h(n) de la question précédente.

Posté par
hajer123456re : intégration et séries 15-10-17 à 16:20

luzak les applications u et v sont prédéfinient dans l'enoncé que écrit..je sais pas pourquoi de même? quand il s'agit de negligence de dominance ou d'equivalence je précipite vers la définition de limites
j'ai essayé et j'ai trouvé\int_{n-1}^{n}{h(t) e^{lt} - (h(n) e^l^n (1-e^-^l ))/l dt}
j'essaye de me ramener à h(t)- h(n) mais je sais pas si je peux simplifier plus

Posté par
luzakre : intégration et séries 15-10-17 à 18:48

Comment as-tu trouvé cette relation ?
Je t'avais dit de remplacer \dfrac{1-e^{-\ell}}{\ell} par une intégrale :

\dfrac{1-e^{-\ell}}{\ell}=e^{\ell n}\int_{n-1}^ne^{\ell t}\mathrm{d}t donc

\int_{n-1}^nf-\dfrac{1-e^{-\ell}}{\ell}f(n)=\int_{n-1}^n\Bigl(e^{\ell t}h(t)-e^{\ell n}e^{\ell t}f(n)\Bigr)\mahrm{d}t=\int_{n-1}^ne^{\ell t}\Bigl(h(t)-h(n)\Bigr)\mahrm{d}t

En  utilisant la majoration trouvée pour |h(t)-h(n)| tu vas obtenir un majorant de \Bigl\lvert\int_{n-1}^nf-\dfrac{1-e^{-\ell}}{\ell}f(n)\Bigr\rvert qui est négligeable devant f(n) d'où l'équivalent voulu.


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