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integration et somme de Rieman

Posté par
aya4545 05-03-22 à 11:35

bonjour
priere me soutenir pour faire cet exercice
calculer \lim_{n \to +\infty}\sum\limits_{\substack{k=n }}^{2n-1}{\frac{1}{2k+1}}
ce que j ai fait
un changement d indice j=k-n
\lim_{n \to +\infty}\sum\limits_{\substack{k=n }}^{2n-1}{\frac{1}{2k+1}}=\lim_{n \to +\infty}\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n-1}{\frac{1}{2(j+n)+1}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n-1}{\frac{1}{2(\frac{j+\frac{1}{2}}{n}+1)}}
est ce que je peux prendre la variable \frac{j+\frac{1}{2}}{n} etant donnée que j\in [0;n-1] donc (j+1)\in [1 ;n] et par suite la suite converge vers \int_0^1{\frac{1}{2x+1}dx=\frac{\ln 2}{2} et merci

Posté par
lakere : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 12:00

Bonjour,

  Soit S_n ta somme.

On peut écrire S_n=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{2n+k}-\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}

Posté par
lakere : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 12:03

ou plutôt :

   S_n=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{2n+k}-2\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}

Posté par
lakere : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 12:12

Hem, c'est la première version qui est la bonne

Posté par
lakere : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 12:17

Pour compléter :

  tu peux décomposer la première somme en 2 et faire un changement d'indice dans la seconde

Posté par
aya4545re : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 12:55

merci infinimentlake
je trouve le meme resultat \frac{\ln 2}{2}

Posté par
lakere : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 13:00

Mais oui et de rien aya4545

Pas de nouvelles de ton côté ici : integration et changement de variable?

Posté par
carpediemre : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 13:10

salut

tout d'abord il est inutile d'écrire lim quand tu travailles sur la somme  (perte de temps, expression plus lourde donc source d'erreur, ...)

ainsi après ton changement de variable tu sommes sur k ... mais c'est j qui apparait dans l'expression !!!


ensuite bien se rappeler ce qu'est une somme de Riemann et surtout la notion de subdivision et la contrainte sur celle-ci (nécessaire pour conclure)

S(n) = \sum_0^{n - 1} \dfrac 1 {2(k + n) + 1} = \dfrac 1 {2n} \sum_0^{n - 1} \dfrac 1 {1 + \frac {2k+ 1} {2n} }

les nombres 1 + \dfrac {2k + 1} {2n} pour k variant de 0 à n - 1 sont au nombre de n et forment une subdivision de l'intervalle [1, 2] dont le pas est \dfrac 1 n donc tend vers 0 avec n

les hypothèses sont vérifiées donc on peut conclure !!!

et donc l'intégrale que tu donnes est fausse (mauvais intégrande) et son calcul est faux aussi ...

S(n) \to \dfrac 1 2 \int_1^2 \dfrac 1 {1 + x} dx

Posté par
aya4545re : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 13:11

non aucune idée
j ai demandé la correction a mon prof de maths il m a dit que cet un exercice de recherche et qu on le corrigera plus tard
bonne journée

Posté par
aya4545re : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 13:13

merci infiniment carpediem

Posté par
carpediemre : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 13:23

de rien

Posté par
larrechre : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 14:15

Bonjour,

N'y a-t-il pas confusion entre l'intervalle de variation de la variable et celui du dénominateur de la fonction?

Quand k varie de 0 à n-1, \dfrac {2k + 1} {2n}  varie de \dfrac{1}{2n} à \dfrac{2n-1}{2n}.

L'intervalle [0,1] est donc partagé en n parties égales chacune d'amplitude \dfrac{2k+3}{2n}-\dfrac{2k+1}{2n}=\dfrac{1}{n}

On a donc bien \lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac 1 2 \int_0^1 \dfrac 1 {1 + x} dx= \dfrac{\ln (2)}{2}

Posté par
aya4545re : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 14:28

merci larrech

Posté par
carpediemre : integration et somme de Rieman 05-03-22 à 17:07

oui larrech tout à fait !!

soit c'est \int_0^1 \dfrac 1 {1 + x} dx soit c'est \int_1^2 \dfrac 1 x dx ...

sans oublier le facteur 1/2 bien sûr !!

merci


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