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Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde

Posté par
lqpdcr
27-08-23 à 15:31

Bonjour ! je travaille des exercices pour la rentrée mais je bloque carrément sur celui ci...
J'espère que vous pourriez m'aider

Voici mon exercice

Pour tout n ∈ N, on considère la fonction fn définie par
∀t ∈ R, fn(t) = (t - t2 )n
et l'intégrale In donnée par
In = (π 2n+1\div n!)  \int_{0}^{1}{ }fn(t) sin(πt) dt

1. a) Calculer I0 et I1

b) Soit n ∈ N \ {0; 1}.
Démontrer que ∀t ∈ R,

          f′′ n (t) = −2n(2n − 1)fn-1(t) + n(n − 1)fn−2(t)

et en déduire que
           In = 2(2n − 1)In-1 − π 2 In-2


J'ai réussi à trouver I0 et I1 avec des IPP
Mais pour la derivee je ne trouve pas la meme chose  :

\left(n-1 \right)n(1-2t)²(t-t²)^{n-2}-2n(t-t²)^{n-1}

et je n'arrive pas du tout à faire l'expression de In

Merci pour votre aide !

lqpdcr

Posté par
ThierryPoma
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 27-08-23 à 17:04

Bonjour
Dans ce cas, le mieux est de détailler. Pour tout entiern\geqslant2 et tout réel t,
f'_n(t)=n\,(1-2\,t)(t-t^2)^{n-1}=n\,(1-2\,t)\,f_{n-1}(t)
d'où
f''_n(t)=\cdots

Posté par
lqpdcr
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 29-08-23 à 21:02

C'est assez difficile d'écrire des maths sur ordinateur, voici donc ce que j'ai su faire pour le moment Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde
Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 30-08-23 à 01:54

Oui lqpdcr ton calcul est bon il faut juste remarquer que \Large\boxed{(1-2t)^2=1-4(t-t^2)}

Posté par
lqpdcr
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 30-08-23 à 23:02

Ok merci beaucoup pour la piste je vais essayer de travailler là dessus, je reviens ici si je bloque encore !

Posté par
lqpdcr
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 30-08-23 à 23:25

Merci c'est bon !!!Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde

Mais du coup je n'arrive pas non plus la deuxième partie de la question 😬 :

lqpdcr @ 27-08-2023 à 15:31


et en déduire que     In = 2(2n − 1)In-1 − π 2 In-2

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 01-09-23 à 00:29

Bonsoir lqpdcr

\bullet Pour alléger les calculs notons \Large\boxed{J_n=\int_0^1f_n(t)\sin(\pi t)dt} on a alors \Large\boxed{I_n=\frac{\pi^{2n+1}}{n!}J_n}.


\bullet Une double intégration par parties donne \Large\boxed{J_n=-\frac{1}{\pi^2}\int_0^1f''_n(t)\sin(\pi t)dt}...

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 01-09-23 à 07:27

Bonjour à tous les deux
lqpdcr le règlement ne t'autorise pas à poster ce type d'image. Merci de ne plus le faire, nous avons plein d'aides d'écriture sur le site.
Aide toi de l'assistant Ltx éventuellement ( icône Ltx avec les 2 petits points rouges dessous) Fais quelques essais tu vas voir on prend très vite le coup.

Posté par
lqpdcr
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 01-09-23 à 12:24

Ah désolé je pensais que c'était possible une fois qu'on avait écrit l'énoncé de l'exo
Merci elhor_abdelali
je vais essayer avec cette piste

Posté par
lqpdcr
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 01-09-23 à 14:03

Un grand merci j'ai enfin su finir l'exercice !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Intégration et suite avec utilisation de la dérivée seconde 02-09-23 à 01:09

C'est un plaisir lqpdcr

La prochaine fois fais comme te dit malou et utilises l'assistant LaTeX \Large\Sigma

Tu pourras aussi consulter les codes sources </> qui se trouvent à côté de la date.



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