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Intégration ( licence)
Bonjour à tous!
J'ai un DM en cours d'intégration sur la célèbre intégrale de sin x /x mais la méthode de calcul est par contre un peu plus originale que ce que j'ai déjà pu faire...
Je suis bloquée à l'avant dernière question du problème, à deux doigts de la conclusion , si quelqu'un pourrait m'éclairer j'en serais ravie, un grand merci par avance!
On définit une fonction G par:
Je dois montrer que G est continue sur , malheureusement,on ne peut pas utiliser les théorèmes habituelles de continuité car on ne peut pas dominer notre fonction ( pour se ramener aux bonnes hypothèses), une amie proposait de se ramener au théorème d'intégration sur un compact, on a alors en prolongeant notre fonction par continuité en 0, pour tout M positif:
la fonction qui a t associe est continue, mais peut on faire tendre M vers l'infini ?
Si non, comment faire ?
J'ai une deuxième question,
je dois montrer que G vérifie l'équation différentielle G''(t) + G(t) =
Nous avons montré dans les questions précédentes que
et
j'ai donc pensé à effectuer un changement de variable dans G en posant à la place de 'x ' 'x+t' je trouve
le problème que je rencontre alors c'est que je garde une borne infinie qui me pose problème, comment m'en dépatouiller ?
Voilà ce qui me bloque actuellement, un grand merci à celui qui se penchera dessus... je crois que j'ai un gros problème avec tout ce qui tend vers l'infini, en tout cas ça semble mes failles dans ce problème....
Bonne soirée =)
Melle Papillon
Hahah sin x/x c'est la célébre intégrale de Dirichlet 
Si ca peut t'aider...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Dirichlet
Bonjour,
je viens de regarder le lien wikipédia, qui ne se rapporte qu'à l'intégrale de Dirichlet, ce sont des calculs que j'ai déjà fait plus tôt dans mon problème et qui ne répondent pas à mon problème posté... Hélas!
personne a une idée ?
Merci par avance et bonne journée
Salut à tous
Marie >
L'idée de ton amie a du bon mais à ce moment-là, il faudrait que tu montres que la suite de fonctions (en mettant un paramètre entier n à la place du réel M) converge uniformément et alors la limite sera continue.
Cela dit, tu peux adopter un raisonnement plus direct : changement de variable et...formules de trigo.
Avec ce changement, tu pourras montrer que ta fonction est indéfiniment dérivable sur .
Autre chose, pour dériver cette fonction, en utilisant les questions auxquelles tu as déjà répondu, en prenant a quelconque ( mais différent de 0, par exemple a=1), essaie de transformer ton intégrale grâce à la relation de Chasles.
Kaiser
Bonsoir Kaiser! et aussi les autres..
Je suis ravie de te "revoir", j'ai bien cru que tu avais disparu... caché dans les méandres de Cachan...
Pour revenir à ma prise du tête du moment...
Justement je n'arrive pas à montrer l'uniforme convergence donc les compacts c'est bien beau, mais là ça fait seulement brasser du vide...on ne conclue pas ( à moins que mes calculs se soient aussi mélanger les pinceaux...)
Tentons donc le raisonnement plus direct,
j'imagine que le changement de variable est celui que j'ai indiqué et que les formules de trigonométrie sont sin(x-t)= sin x cos t - cos x sin t ( et ensuite je peux sortir de l'intervalle ce qui ne dépend pas de x...
j'ai montré que admettait une limite quand e tendait vers 0 et A tendant vers l'infini je suppose que je suis capable de montrer une resultat similaire en remplacant le sinus par un cosinus et donc chaque intégrale est une certaine constante indépendante de t que je multiplie par des fonctions continues donc c'est continue.
Est ce correct ?
Je suis aussi content de te "revoir", comme tu dis !
j'ai bien cru que tu avais disparu... caché dans les méandres de Cachan...
J'essaie simplement de fréquenter un peu moins l'
mais je ne disparais pas complètement de la circulation pour autant!
Tentons donc le raisonnement plus direct,
j'imagine que le changement de variable est celui que j'ai indiqué et que les formules de trigonométrie sont sin(x-t)= sin x cos t - cos x sin t ( et ensuite je peux sortir de l'intervalle ce qui ne dépend pas de x...
toutafé !
je suppose que je suis capable de montrer une resultat similaire en remplacant le sinus par un cosinus
sauf qu'en 0 tu auras un problème : cos(x)/x ce n'est pas intégrable au voisinage de 0.
donc chaque intégrale est une certaine constante indépendante de t que je multiplie par des fonctions continues
je ne te suis pas : tu auras toujours des intégrales qui vont dépendre de t (il y a aura un t dans la borne inférieure de l'intégrale). Ainsi, je ne comprends pas pourquoi ce que tu fais lorsque tu fais tendre e vers 0 et A vers l'infini.
Bref, écris ce que tu obtiens, après avoir effectué le changement de variables et utilisé la formule de trigo.
Kaiser
oup's ça s'est envoyé tout seul...
je sais que pour tout t positif que a une limite, mais je ne vois pas en quoi la fonction qui a t associe
est continue (*)...
quand à l'intégrale en cosinus je ne vois pas non plus, je pense qu'il faut traiter deux cas, le cas t=0 d'après ta remarque , et le cas t>0. ( si je comprends(*) peut etre que je comprendrai comment faire cela..?)
OUi ?
Je vais reflechir à la dérivabilité en attendant ton aide (merci!)
Je regarderai demain, ça me semble insurmontable,je pense que je vais attendre demain pour prendre du recul, la théorie de Galois a tué le peu de neurones qu'il me restait.
J'avais une question tout à fait personnelle à poser, j'aimerai aller à Paris faire mon M1 l'année prochaine, je pense postuler à Pierre et Marie Curie et Diderot, j'ai eu des bons échos sur la première, est ce aussi le cas pour la deuxième ? Suggestions ?
Merci pour les conseils, mathématiques et personnelles
Marie
Ne cherchons plus ! oublions toutes les stupidités que j'ai pu écrire, j'ai réussi à le montrer.
Par contre je n'ai pas utilisé les formules de trigo, simplement le changement de variable et des fn qui tendait uniformément vers f...
Merci pour ton aide Kaiser, en tout cas.
Bonne journée
Salut Marie
Désolé de ne pas t'avoir répondu plus : disons que j'étais occupé ailleurs.
simplement le changement de variable et des fn qui tendait uniformément vers f...
ça ne t'a pas paru un peu dur : après le changement de variable, tu as du t dans les bornes de l'intégrale et du t sous l'intégrale.
En effet, après coup, je me rends compte que ce n'est pas si facile que ça, ou alors en faisant quelques calculs bourrins peut-être.
Pour l'histoire des formules de trigo :
on a que pour tout t non nul :
sin et cos sont continues. Il suffit de montrer la continuité des intégrales.
Pour cela, il suffit de remarquer que
et que
Ces deux fonctions sont alors continues sur
La seule difficulté est de montrer la continuité en 0. Pour cela, il suffit de montrer que, lorsque t tend vers 0,
Pour la question personnelle :
J'avais une question tout à fait personnelle à poser, j'aimerai aller à Paris faire mon M1 l'année prochaine, je pense postuler à Pierre et Marie Curie et Diderot, j'ai eu des bons échos sur la première, est ce aussi le cas pour la deuxième ? Suggestions ?
Pour ma part, j'ai effectué 3/4 de mon M1 à Diderot donc je peux essayer de te donner mon avis. Cela dit, je ne sais pas si je peux être objectif car au premier semestre, j'ai fait ma licence en 3 ou 4 mois à Cachan et juste derrière, j'ai enchainé le M1, sans oublier le fait que j'étais à Diderot, l'année où les facs étaient bloqués à cause du CPE. Bref, ça a été super bourrin et donc au final, je ne pense pas vraiment avoir aimé cette période (peut-être parce que ma soulait un peu!
. Maintenant, en essayant d'avoir un tantinet d'objectivité, c'est globalement une bonne fac avec parfois de bons profs (mais bon, comme toujours, y'a des exceptions ! ).
Bref, je suis conscient que mon avis sur la question est un peu flou.
Encore un dernière chose : ça fait 2 ans que je n'ai pas eu un cours à Diderot : les choses ont pu changer entre temps.
Par contre, si je peux me permettre, je te donne mon avis sur une autre fac au cas où, celle d'Orsay. En effet, j'ai eu l'occasion d'y faire un M1 en touriste l'an dernier et personnellement, j'ai largement préféré cette période à celle passée à Diderot. J'ai trouvé les cours meilleurs. Un pont fort que je n'ai pas vu chez Diderot : il y a un module intitulé analyse/mathématiques générales qui est ce que j'appelle le "module spécial agreg". En effet, ça donne déjà des connaissances qu'il faut avoir pour passer l'agreg, et je trouve ce module très bien.
Par contre, le truc auquel on ne peut échapper et qui est valable dans les deux facs : parfois, certains modules se chevauchent et du coup, il faut faire des choix. La seule différence entre les deux facs, pour ce que j'en sais, c'est qu'à orsay, à midi, on peut manger tranquillement, euh pardon, on peut manger tout court !
(l'année où j'étais à Diderot, pour pouvoir manger un morceau, parfois, je devais fuir la fin d'un TD). Bon, OK, depuis un moment je fais l'éloge d'Orsay alors je vais quand même relativiser : pour aller à Diderot, j'ai à peu près un peu plus de 30 minutes de transport et pour Orsay, j'en ai pour une heure pile, sans compter une petite dizaine de minutes à peine de la station à la fac (pour te donner une idée, je suis à environ 15-20 minutes de Paris en train).
Bref, ça dépend encore de l'endroit où tu veux t'installer.
J'espère avoir répondu à ta question avec tout ce bavardage.
Kaiser
Merci Kaiser pour ces éléments de réponse!
Malheureusement, pour moi, Orsay ça fait loin...(déjà de quitter mes montagnes sera dur mais faire 1heure de transport tous les jours , dur dur! ) et donc je n'ai pas imaginé l'eventualité même si j'ai entendu dire que c'était une excellente fac, peut etre mon niveau n'est pas à la hauteur de leur exigence...
J'espère en tout cas qe les dossiers que je vais présenter à Pierre et Marie Curie et celui pour Diderot vont être retenus (peuvent ils me refuser si j'ai une licence? je vais de plus le magistère de maths...)
Je crois qu'il y a des mauvais profs partout, ils font savoir retenir l'essentiel pour ces objectifs.
Que fais tu cette année? Je pensais que tu préparais l'agrégation mais tu parles d'avoir fait plusieurs M1 je suis un peu perdue.
J'ai vu que dans certaines facs il faisait l'étude des résidus en licence, à Grenoble c'est en M1, je leur ai posé la question si c'était problèmatique ils ont escquivé la question. Dur dur de savoir qu'en on est pas de là bas!
Merci en tout cas pour tes éléments de réponse
Au plaisir de te lire
Marie
Je viens de lire les éléments de réponse mathématique, ça me rassure que tu dises que ce n'était pas si évident, j'ai lutté pour ma part... mais je respire à présent.
Je suppose que dans ta deuxième ligne c'est un cosinus..
Si non je me demandais comment montrer que la fonction cos x /x n'était pas intégrable en 0 ?
NB: tu n'as pas à te justifier de ne pas répondre tout de suite, tu n'es pas à "mon service"...
A bientôt
Bonjour
Si non je me demandais comment montrer que la fonction cos x /x n'était pas intégrable en 0 ?
Cos x tend vers 1 en 0, donc cos x /x est equivalent à 1/x , dont les primitives sur ]0;1] sont ln(x) + C qui divergent quand x tend vers 0.
Sauf erreur.
Merci jeanseb! ça me semble un bon moyen, je cherchais plus compliqué. j'arrive à me représenter à présent pourquoi ça ne marche pas.
Bonne journée
Salut Marie et jeanseb
Que fais tu cette année? Je pensais que tu préparais l'agrégation mais tu parles d'avoir fait plusieurs M1 je suis un peu perdue.
oui, je sais c'est un peu compliqué. Je résume depuis le début.
En 2005-2006 : j'ai fait ma L3 à cachan de septembre 2005 à fin janvier 2006. Ensuite, j'ai enchainé avec le M1 que j'ai fait aux 3/4 durant le reste de l'année, à Diderot.
En 2006-2007 : j'ai fini eu en septembre-octobre mon M1 avec 3 semaines intensives (et absolument horribles !)à Cachan. Ensuite, j'aurai du enchainé avec un M2 mais comme j'étais un peu juste et que tout ça m'était apparu un peu trop rapide, j'ai suivi, à la place, un cours de M1, en touriste, à Orsay.
En 2007-2008 : de retour à Cachan, je prépare le concours de l'agrégation externe de maths.
En 2008-2009 : eh ben, ... on verra !
(si tout se passe bien, je fais un M2)
Kaiser
j'ai oublié des truc en route :
J'espère en tout cas qe les dossiers que je vais présenter à Pierre et Marie Curie et celui pour Diderot vont être retenus (peuvent ils me refuser si j'ai une licence? je vais de plus le magistère de maths...)
je ne vois pas trop ce que tu veux dire. Pourquoi te refuseraient-ils, a priori ?
J'ai vu que dans certaines facs il faisait l'étude des résidus en licence, à Grenoble c'est en M1, je leur ai posé la question si c'était problèmatique ils ont escquivé la question. Dur dur de savoir qu'en on est pas de là bas!
C'est une bonne question, et j'ai l'impression que personne n'est d'accord sur le sujet. Pour ma part, j'ai suivi un cours d'analyse complexe lorsque j'ai fait ma L3, mais un de mes profs nous dit que c'est plutôt un cours de M1. Cela dit, il est vrai que c'est courant ici de faire ça en L3. Bref, si t'en as pas fait, essaie quand même de jeter un oeil sur des bouqins ou sur des poly qui trainent sur le net, comme celui-ci par exemple :
. C'est le cours que j'ai eu étant en L3.
Kaiser
Merci Kaiser pour cette biographie, je songerais à en faire un livre.
C'est étrange que vous faites licence et M1 si rapidement, je pense qu'il est important de prendre du recul face à tout ce qu'on engrange, qui dit recul dit temps.
Pourquoi il ne me prendrait pas ? il faut présenter un dossier, avec les résultats du premier semestre ( j'essayerai de mettre mes notes de magistère ( 16 de moyenne) et mes notes de controle continue du deuxième j'ai eu de bons résultats mais j'ai eu mon premier semestre ric rac ( 60% d'échecs dans la promo) mais en même temps il faut considérer qu'à Grenoble nous avons deux licences, la A (en vu d'un M1, recherche et de l'agrég) et la B en vu du capes ou professeur des écoles. Je suis en filière A et nous avons un niveau plus haut et des exigences plus grandes que dans l'autre filière (quelqu'un de A qui passe en B peut facilement avoir 4/5 points de plus dans sa moyenne en gardant son rythme de travail), je ne sais pas s'il connaisse ce système à Paris, avoir mon semestre est une bonne chose dans ma fac mais mes résultats peuvent sembler faible. commprends tu l'idée ?
N'oublions pas l'opinion que les parisiens se font de la "province"
Pour le calcul des résidus merci pour le cours, je potasserai ça cet été, j'espère juste qu'ils ne me feront pas rattraper ce module de L3 s'ils me prennent.
L'agrég c'est aujourd'hui et c'était aussi hier à Grenoble, pareil ici je suppose ? je pense à toi alors tu me diras...
en faite pourquoi Kaiser ? (hormis la traduction et la personne qui se faisait appeler comme ça..)
Bonne journée
Melle papillon
Merci Kaiser pour cette biographie, je songerais à en faire un livre.
C'est étrange que vous faites licence et M1 si rapidement, je pense qu'il est important de prendre du recul face à tout ce qu'on engrange, qui dit recul dit temps.
c'est la particularité des ENS et je trouve ça malheureux. Je suis d'accord avec toi. De plus, faire le M2 l'année d'après est encore plus bourrin et pour celles et ceux qui veulent faire l'agreg, ça ne leur sert absolument à rien. D'ailleurs, je ne regrette mon petit séjour en M1 à Orsay au lieu d'avoir fait un M2.
Pourquoi il ne me prendrait pas ? il faut présenter un dossier, avec les résultats du premier semestre ( j'essayerai de mettre mes notes de magistère ( 16 de moyenne) et mes notes de controle continue du deuxième j'ai eu de bons résultats mais j'ai eu mon premier semestre ric rac ( 60% d'échecs dans la promo) mais en même temps il faut considérer qu'à Grenoble nous avons deux licences, la A (en vu d'un M1, recherche et de l'agrég) et la B en vu du capes ou professeur des écoles. Je suis en filière A et nous avons un niveau plus haut et des exigences plus grandes que dans l'autre filière (quelqu'un de A qui passe en B peut facilement avoir 4/5 points de plus dans sa moyenne en gardant son rythme de travail), je ne sais pas s'il connaisse ce système à Paris, avoir mon semestre est une bonne chose dans ma fac mais mes résultats peuvent sembler faible. commprends tu l'idée ?
Je vois ce que tu veux dire. Cependant, je n'avais pas trop entendu parler de ce genre de système ici et je ne sais pas vraiment sur quoi ils se basent.
Pour le calcul des résidus merci pour le cours, je potasserai ça cet été, j'espère juste qu'ils ne me feront pas rattraper ce module de L3 s'ils me prennent.
En fait, je viens de me souvenir d'une chose importante. Lorsque j'étais à Diderot en M1, un étudiant avait avoué à de nos profs ne pas avoir fait d'analyse complexe. Ceci étant, cela prouve, a priori, qu'ils ne se basent pas trop sur ton "passé mathématique" mais autant te prévenir tout de suite : il se peut que dans certains cours tu aies besoin d'analyse complexe. Tu auras probablement des petits rappels mais tu n'auras pas un cours entier ou alors du moins les résultats balancés sans preuve (d'ailleurs, le prof en question avait dit à l'étudiant de rattraper ce cours par ses propres moyens). Pareil à Orsay, une personne nous avait dit en jamais avoir fait d'analyse complexe et pourtant dans l'année on en a utilisé (en analyse, du module analyse/maths générales).
Autre chose : dans le poly d'analyse complexe que je t'ai conseillé, il y aura probablement des théorèmes qui seront utilisés sans démonstration et qui sont vus dans d'autres domaines. Dans ce cas, jette un oeil sur le poly d'analyse fonctionnelle du même lien (si je me souviens bien, les théorèmes en questions sont les théorèmes d'Ascoli et de Hahn-Banach, au cas où tu ne les aurais pas vu)
L'agrég c'est aujourd'hui et c'était aussi hier à Grenoble, pareil ici je suppose ? je pense à toi alors
tu me diras...En fait, c'était plutôt les 2 et 3 avril : pour la première épreuve, je dis moyen, et pour la deuxième, plutôt bien passé, mais bon on verra dans 3 mois.
en faite pourquoi Kaiser ? (hormis la traduction et la personne qui se faisait appeler comme ça..)
Aucune raison particulière. Seulement, je trouvais que ça sonnait bien pour un pseudo !
Kaiser
merci pour ces explications.
J'ai vu d'ailleurs le théorème d'Ascoli au premier semestre en topologie... je pense que tu as raison pour les cours, de toute manière je devrais bien maitriser cela un jour au l'autre . mon cours de magistère sur les fonctions holomorphes m'aidera certainement!
A bientot! et encore merci pour les cours, je trouverai un livre d'exo à la BU...pour me torturer les méninges!
Mais je t'en prie ! 
je trouverai un livre d'exo à la BU...pour me torturer les méninges!
pourquoi "torturer" ? C'est super cool l'analyse complexe, tu verras !
Kaiser
We will see comme on dit!
Je n'aime pas trop ce qui est trop calculatoire voilà tout... mais peut etre que le calcul des résidus va chambouler ma vie ! 
Je n'aime pas non plus les calculs bourrins mais bon, tant que ça reste dans la mesure du raisonnable, c'est OK (c'est-à-dire si l'on me demande pas de calculer 10 résidus en des poles qui sont tous d'ordre au moins 5 ).
Allez, bonne continuation.
Kaiser
Bonjour!
les théorèmes en questions sont les théorèmes d'Ascoli et de Hahn-Banach
J'ai vu d'ailleurs le théorème d'Ascoli au premier semestre en topologie.
Si tu veux des tuyaux sur le théorème d'Ascoli, il faut sonner à la porte de Raymond qui est bien branché sur ledit théorème.
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