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[Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x)

Posté par
Entouane 12-09-22 à 22:26

Bonjour,
Je cherche à déterminer la limite de la suite définie par a_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx… (Certains pourraient chercher leur clé de voiture, moi je cherche ça. Pourquoi pas après tout m'enfin… !)

Après quelques recherches, j'ai vu qu'il y avait plusieurs méthodes. La première utilisant le changement de variable t=1+x puis en utilisant le binôme de Newton.

a_n= \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx = \int_1^2 \frac{(t-1)^n}{t} dt= \int_1^2 \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} t^{k-1} (-1)^{n-k}

Bon ben là, je ne vois pas comment j'avance !

Une seconde méthode consiste à faire apparaitre une récurrence : après une petite séparation de la fraction, on arrive à faire apparaitre, en posant I(n)=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx ceci :

I(n)= \frac{1}{n} - I(n-1)

Alors ensuite, comme on remarque que le dernier terme en \frac{1}{n} est toujours positif, c'est un peu relou parce qu'il faut voir sur la parité de n, et je trouve (mais je peux me tromper) que

I(n)=(-1)^n \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k} + I(0)\right)
(Au fait, I(0) = ln(2) !)

ok. Bon. Xcas me dit que la somme vaut - ln(2). Comment on trouve la valeur de cette série alternée ?


Tout ça pour dire : comment on avance avec la méthode 1 et comment on conclue avec la méthode 2, svp ?! Merci de votre aide !

Posté par
jandri Correcteurre : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 12-09-22 à 22:35

Bonsoir,

s'il s'agit de déterminer la limite de la suite a_n il suffit d'écrire 0\leq a_n\leq \int_0^1x^ndx.

Posté par
Entouanere : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 12-09-22 à 23:44

… ok… Bon, ça répond à la question initiale… Je suis un peu dégoutté mais bon… Merci !

Et euh, comment on trouve la valeur de la somme alternée, vous savez, vous ? ahah

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 13-09-22 à 01:21

Bonsoir Entouane


Citation :
Et euh, comment on trouve la valeur de la somme alternée, vous savez, vous ? ahah



Et bien en écrivant pour n\in\mathbb N^*, \Large\boxed{a_n+a_{n-1}=\int_0^1\frac{x^n+x^{n-1}}{1+x}dx=\int_0^1x^{n-1}dx=\frac{1}{n}}


tu as pour tout n\in\mathbb N^*, \Large\boxed{(-1)^na_n-(-1)^{n-1}a_{n-1}=\frac{(-1)^n}{n}}


et puis, par télescopage, tu as pour tout n\in\mathbb N^*, \Large\boxed{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}=(-1)^na_n-a_0}


et comme on a, comme l'a expliqué jandri, \Large\boxed{0\leqslant a_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}dx\leqslant\int_0^1x^ndx=\frac{1}{n+1}}


tu vois que \Large\boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=0} et donc que \Large\blue\boxed{\lim_{n\to+\infty}~\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}=-a_0=-\ln2} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
aya4545re : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 13-09-22 à 10:21

bonjour
elhor_abdelali si jamais vous repasser  par  cette discussion  prière   m éclaircir le passage de la premiere a la seconde de votre commentaire et merci

Posté par
Ulmierere : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 13-09-22 à 11:51

Voici un autre calcul direct

\begin{array}{lcl} \\ (-1)^na_n &=& \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{(-x)^n}{1-(-x)}dx\\ \\ &=& \displaystyle\int_{-1}^0\dfrac{u^n}{1-u}du\\ \\ &=& \displaystyle\int_{-1}^0 \left(\dfrac{u^n - 1}{1-u} + \dfrac{1}{1-u}\right)du\\ \\ &=& [-\ln(1-u)]^{-1}_0 - \displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{1-u^n}{1-u}du\\ \\ &=& \ln(2) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \int_{-1}^0 u^kdu\\ \\ &=& \ln(2) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{k+1}((-1)^{k+1}-0^{k+1}\\ \\ &=& \ln(2) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{k+1} \\ &=& \ln(2) + \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k} \\ \end{array}

La limite de la somme qui reste n'est autre que la limite en -1 de -ln(1-x), c'est-à-dire -ln(2).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 13-09-22 à 20:19

Avec plaisir aya4545


Pour passer de l'égalité \Large\boxed{a_n+a_{n-1}=\frac{1}{n}} à l'égalité \Large\boxed{(-1)^na_n-(-1)^{n-1}a_{n-1}=\frac{(-1)^n}{n}}


il suffit de multiplier par \Large\boxed{(-1)^n} en remarquant que \Large\boxed{(-1)^n=-(-1)^{n-1}}

Posté par
aya4545re : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 14-09-22 à 16:55

bonne journée
merci  elhor_abdelali
je voulais dire l intérêt mais il me parait c est pour créer des télescopages  

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : [Intégration] Limite d’une intégrale x^n/(1+x) 14-09-22 à 23:58

Citation :
je voulais dire l intérêt mais il me parait c est pour créer des télescopages



Tout à fait


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