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Intégration par partie

Posté par badadalili (invité) 06-01-08 à 09:56

Bonjour

Voici mes petits problèmes

1) En utilisant une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale lnx/x² dx (integrale e 1)


2)  A l'aide d'une intégration par partie, démontrer que intégrale (3 1) lnx dx = 3ln3 - 2 (ça j'ai reussi)
mais, déduire de ça, la valeur exacte de l'intégrale I ( I = 1/2 intégrale (3 1) b(x) dx

Et si je me suis pas trompé, b(x) = 300 - (100x²-200lnx)

Merci

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 10:20

pour le premier, j'ai pris u = lnx  et u'= 1/x
v = -1/x   v"= 1/x²

mais j'y arrive pas

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 10:26

Bonjour

Normale que tu n'y arrives pas. La formule s'appliques quand on a intégrale de u.v'

Donc ici tu poses :

u(x) = ln(x)    u'(x) = 1/x

v'(x) = 1/x²   v(x) = -1/x

Et en faisant l'intégrale de 1 à e, tu dois trouver (sauf erreur)

I = 1 - 2/e

A+

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 10:30

tu fais comment pour trouver ça? désolée j'ai pas trop compris ce chapitre

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 10:32

et pourquoi ils disent une intégration par partie alors? je croyais qu'il fallait prendre la formule quand c'était une intégration par partie

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 10:45

Bon va voir la formule le temps que je tappe mon message :



Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégration par partie 06-01-08 à 10:46

Pour une intégration par parties:

\int u(x).v'(x) \ dx = u(x).v(x) - \int v(x).u'(x)\ dx

Donc ici:

\int \frac{ln(x)}{x^2}\ dx

ln(x)/x² = ln(x) * (1/x²)

Poser:
u(x) = ln(x) -->   u'(x) = 1/x
et
v'(x) = 1/x²  -->  v(x) = -1/x

\int \frac{ln(x)}{x^2}\ dx = -\frac{ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^2}\ dx

\int \frac{ln(x)}{x^2}\ dx = -\frac{ln(x)}{x} - \frac{1}{x}

\int \frac{ln(x)}{x^2}\ dx = -\frac{1+ln(x)}{x}

\bigint_1^e \frac{ln(x)}{x^2}\ dx = -[\frac{1+ln(x)}{x}]_1^e

\bigint_1^e \frac{ln(x)}{x^2}\ dx = -\frac{1+ln(e)}{e} + \frac{1+ln(1)}{1}

\bigint_1^e \frac{ln(x)}{x^2}\ dx = 1-\frac{2}{e}
-----
Sauf distraction.  

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 10:49

Tu as avec :

u(x) = ln(x)    u'(x) = 1/x

v'(x) = 1/x²   v(x) = -1/x

\Large{\rm \Bigint_{1}^{e} u(x).v'(x) dx = [u(x).v(x)]_1^e - \Bigint_{1}^{e} u'(x).v(x) dx

Soit :

\Large{\rm \Bigint_{1}^{e} \frac{ln(x)}{x^2} dx = [-\frac{ln(x)}{x}]_1^e - \Bigint_{1}^{e} -\frac{1}{x^2} dx = [-\frac{ln(x)}{x}]_1^e - [\frac{1}{x}]_1^e = [-\frac{(1+ln(x))}{x}]_1^e = ...

Je te laisse finir

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 10:50

Salut J_P

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégration par partie 06-01-08 à 10:52

Salut lyonnais

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 10:55

c'est bien -1/x²dx dans la toute première partie?
Car je trouve ça aussi, en appliquant ce que vous dites, mais vous avez pas mis pareil

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégration par partie 06-01-08 à 11:01

...\  - \int -\frac{1}{x^2}\ dx

est évidement équivalent à :

...\  + \int \frac{1}{x^2}\ dx

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 11:05

C'est bon j'ai reussi merci


là je me suis trompé en recopiant, c'est b(x) = 300x - (100x²-200lnx)

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 11:11

avec la première intégrale, il y a
Calculer la valeur exacte de a en cm² de l'aire de la partie du plant limité par les droites d'équation x = 1, x=e
Donner une valeur décimale à 10-3 près par défaut de a

1 ue = 1e non?

du coup ça fait -2+1e?
-2+2,71828183= 0,718 c'est ça?

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 11:11

ah oui effectivement merci

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 11:14

pour l'intégrale de
1/2 inégrale (3 en haut, 1 en bas) 300x - (100x² - 200lnx)
on fait comment vu que c'est pas de la forme u*v?

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 11:50

personne ne peut me donner une piste? et me confirmer pour l'aire?

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 12:01

Re

si la question est :

Citation :
Calculer la valeur exacte de a en cm² de l'aire de la partie du plant limité par les droites d'équation x = 1, x=e et la fonction f : x--> ln(x)/x²


Alors l'aire est tout simplement la valeur de l'intégrale que l'on vient de calculer, cad :

a = 1 - 2/e ua = 0.264 ua

Après, reste à voir comment est définit l'unité d'aire dans ton énoncé ...

Si tes données sont en centimétres, tu as directement 1 ua = 1 cm²

Sinon pour calculer l'intégrale de b, tu sais, il y a d'autre moyen que les IPPs, comem par exemple le calcul direct ...

\Large{\rm \frac{1}{2}.\Bigint_{1}^3 (300x-100x^2+200ln(x)) dx = 150\Bigint_{1}^3 x dx - 50\Bigint_{1}^3 x^2 dx + 100\Bigint_{1}^3 ln(x) dx

Et tu te sers de la valeur trouvée précédement.

A+

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 12:14

unité graphique, 3 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées

du coup, 1 ua = 10*3 = 30 cm²?

donc 0.0817 * 30 = 2,452 cm²

par contre 1 - 2/e = ça fait 0.0817 vu que e = 2.178? non?

et après, 150 * 2 - 50 * (26/3) + 3ln3 - 2= - 132.04
pour l'euro arrondi? mais pour la valeur exacte je fais comment?

enfin je suis pas sur que ça soit bon déjà ce que j'ai fait

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 12:36

Re

En effet, dans ce cas,

1 ua = 30 cm²

aire = 30(1- 2/e) = 7.927 cm²

Car pour moi, 1 - 2/e = 0.2642411...

Sinon pour l'autre. Pour la valeur exacte, tu laisses l'expression exacte avec les ln ... (tu peux simplifier un peu plus ...

Perso, je trouve :

(100/3).[3.ln(3)-1]

Ce qui me donne : 296.25

Je vois au moins une erreur dans ce que tu as fait, il devrait y avoir un 100 en facteur avec ton ln(3).

Mes réponses sont bien sur à vérifier ...

Bonne journée

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 12:37

Ok je vois où était ton erreur ...

Attention, e = (environ) 2.718  ( et non 2.178 )

A+

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 12:48

pour la première partie (et mon erreur avec e) j'ai compris, mais pour la deuxième partie j'ai pas compris :s

le 3ln3-2 vient de l'enoncé
A l'aide d'une intégration par partie, démontrer que integréale (3 en haut, 1 en bas) lnx dx = 3ln3 - 2

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 12:51

D'accord, mais quand tu as :

\Large{\rm \frac{1}{2}.\Bigint_{1}^3 (300x-100x^2+200ln(x)) dx = 150\Bigint_{1}^3 x dx - 50\Bigint_{1}^3 x^2 dx + 100\Bigint_{1}^3 ln(x) dx

Il y a un facteur 100 devant :

\Large{\rm \Bigint_{1}^3 ln(x) dx

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 13:01

a oui exact
mais j'y arrive pas quand même, j'ai re essayé, et je trouve 221.25
pour la première partie (avec le 150) je trouve que l'intégrale fait 3,5, et 3,5*150 = 525

pour la deuxième partie avec le 50, je trouve 8,6667, et multiplié par 50 ça fait 433,33

et la dernière partie 100 * (3ln3-2) je trouve 129,58

ce qui fait 525-433,33+129,58 = 221,25

en tout cas merci de prendre du temps pour m'aider c'est gentil

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 13:08

Mais non tu avais la bonne réponse, le développement si tu veux c'est :

150 * 2 - 50 * (26/3) + 100(3ln3 - 2) = ...

Par exemple, pour la première, c'est pas 3.5 mais 2 = 9/2 - 1/2

Je dois y aller, j'espère que tu vas t'en sortir ...

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 13:20

ok, merci.
Le chiffre à virgule j'ai reussi à trouver pareil, je m'était trompé au premier, j'avais retiré de nouveau 0.5 je sais pas pourquoi

par contre en nombre entier je trouve pas pareil, et quand je fait ton nombre à la calculatrice, je trouve pas le même que celui que tu as mis juste en dessous

En tout cas merci, bonne après-midi

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 13:44

j'ai trouvé -100/3 + 300ln3

Posté par
lyonnaisre : Intégration par partie 06-01-08 à 14:43

C'est ça



C'est bien ce que j'avais, même si j'ai mal recopié ici

(100/3).[9.ln(3)-1] = 300.ln(3) - 100/3

A+

Posté par badadalili (invité)re : Intégration par partie 06-01-08 à 14:50

merci beaucoup


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