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integration par parties

Posté par max67120 (invité) 30-12-04 à 16:22

bonjour pouver vous ma'ider pour cette integration par parties , je doi calculer la valeur excate par cette methode et je ni arrive pas, merci d'avance:

J=e^x*ln(1+e^x)dx  (sur 1,0 pour lintegrale)

Posté par
franzre : integration par parties 30-12-04 à 17:01

On pose "naturellement"
u'(x) = e^x et  v(x) = \ln (1+e^x)

Donc u(x) = e^x+1 (il est judicieux d'introduire une constante d'intégration pour la suite) et  
v^'(x) = \frac {e^x}{1+e^x}


\large \Bigint_0^1 e^x \ln (1+e^x) dx = \[(e^x+1) \ln (1+e^x) \]_0^1 - \Bigint_0^1 (e^x+1)\frac {e^x}{1+e^x} dx = \[(e^x+1) \ln (1+e^x) - e^x\]_0^1= (1+e)\ln(1+e) - e - 2\ln (2) +1

Posté par
dad97 Correcteurre : integration par parties 30-12-04 à 17:03

Bonjour max67120,

la formule d'intégration par partie nous dit (pour des fonctions de classe C1:
\int_a^bu^'v=[uv]_a^b-\int_a^buv^'

toute la difficulté est de choisir u et v.

Personnellement je ne connais, à priori, de primitive de ln(1+e^x) donc le choix est vite fait :

u^'(x)=e^x et v(x)=ln(1+e^x)

donc u(x)=e^x et v^'(x)=\frac{e^x}{1+e^x}

et on a donc :

4$\int_0^1e^xln(1+e^x)dx=[e^xln(1+e^x)]\0^1-\int_0^1\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx=eln(1+e)-ln(2)-\int_0^1\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx

Pour la dernière intégrale \int_0^1\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx=\int_2^{1+e}\frac{(X-1)^2}{X}\times%20\frac{dX}{X-1}=\int_2^{1+e}\frac{X-1}{X}dX=\int_2^{1+e}1-\frac{1}{X}=[X-ln(X)]_2^{1+e}=(1+e^t-ln(1+e))-(2-ln(2))=e-1-ln(1+e)+ln(2)

et donc ton intégrale vaut eln(1+e)-ln(2)-e+1+ln(1+e)-ln(2))=(e+1)ln(1+e)+1-e-2ln(2)

donc 4$\int_0^1e^xln(1+e^x)dx=(e+1)ln(1+e)+1-e-2ln(2)

Salut

Posté par
takhasysre : integration par parties 30-12-04 à 17:04

Bonjour
en posant u'=e^x et v=ln(1+e^x) cela ne devrait pas aller trop mal.

Posté par
dad97 Correcteurre : integration par parties 30-12-04 à 17:04

oups 2 minutes de retard

Posté par
franzre : integration par parties 30-12-04 à 17:13

Il faut dégainer rapidement pour avoir la primeur de la réponse

Posté par
dad97 Correcteurre : integration par parties 30-12-04 à 17:29

où écrire moins de Latex


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