les integrals de Walis, un grand classique ^^


pour I1 je suis d'accord avec toi, pour Io revoi ton calcule ^^ (on trouve Pi/2)


pour l'ipp tu par de In, tu prend u'=sin v=sin^(n-1)

tu va te retrouver avec un cos² qu'il faudrat remplacer par 1-sin² et t'aura une expression avec des In et des In-2

a partir de la tu isole les In et tu trouve exactement ce qu'il faut.


apres je suppose qu'on te demande de montre que In est decroissante, sa tu le fais avec les expression integrales et a priori a partir de la tu doit oublier ces expression et tous faire avec la relation de recurence ^^ (enfin en general c'est comme sa)

okey , déja merci d'avoir répondu si rapidement c'est très sympa

alors allons-y

u'= sinx
u = -cosx

v= sin^n-1 x
v'= (n-1)cosx.sin^(n-2)x

I_n= [uv] -v'.u

= [-cosx.sin^n-1 x ] - -(n-1)cos²x.sin^(n-2)x
= [-cosx.sin^n-1 x ] - -(n-1)(1-sin²x).sin^(n-2)x
=  [-cosx.sin^n-1 x ] - -(n-1)(1-sin²x).sin^(n-2)x
= [-cosx.sin^n-1 x ] + (n-1) ( sin^(n-2)x - sinⁿx  )

mais je commence à tourner en rond :s  j'avais essayé ca (mais j'avais pas pensé au cos^2 = 1-sin^2   )

Bonsoir

Avec une IPP, on a:

donc
donc
d'où

Bonsoir Joelz

Comment passe -tu de

à donc

autant pour moi j'ai compris

Voici un plus qui va surement t'aider à faire la suite de tes questions

Avec cette relation , on peut calculer I_2p et I_2p+1:

Par récurrence on a donc :

Donc en multipliant par les termes paires 2p(2p-2)...2 au numérateur et au dénominateur, on a:

donc en factorisant par 2² au dénominateur on a donc:



De meme pout I2p+1 et on trouves:

j'ai juste un petit prob .. c'es( sur que la primitive entre 0 et pi/2 vaut o ??

en tout cas thanks à tous les deux

On peut montrer que la suite Un définie par Un=nInIn+1 est constante.
On a:

Or
donc
donc Un est constante

c'est dingue  ! exactement la suite de mes question .. t'es dans ma classe ou bien c'est un exercice type ?

En fait c'est un sujet très classique et je l'ai fait l'année dernière en prépa

Euh pour I0, je trouve I0=pi/2

Oui effectivement ca fait bien pi/2 - 0 ...

Pour en revenir à Un, je me suis trompé dans certain signe (faute de frappe )
On a Un=nInIn-1
et Un+1=(n+1)In+1In=nInIn-1=Un

On a vu qu'elle était constante
donc pour tout n de N*, Un=U1 (par exemple)
Or U1=I0=pi/2
donc pour tout n de N*,

On peut aussi montrer que In ~ In+1 quand n->+oo.
On a plusieurs méthodes.
En se servant de la formule établie précédemment, on a:

d'où
d'où In+1 ~ In-1 en n->+oo

De plus pour tout n de N* et pour tout x de [0,pi/2], on a:

donc
(In est donc decroissante)
On en déduit donc que In+1 ~ In quand n-> +oo

ah ce cher Wallis....


Neo

Finalement on peut aussi montrer que In ~ .
On a en utilisant les formules établies de I2p et I2p+1 :



Comme I2p+1 ~ I2p et I2p > 0, on en déduit que :

I2p ~
puis
I2p+1 ~

donc finalement :



Voila sauf erreur de ma part

Joelz

sauf erreur, cela permet d'établir la formule de Stirling, non?

Neo

Oui je crois
Stirling et Wallis sont très copains

Finalement on peut aussi montrer que In ~ .
On a en utilisant les formules établies de I2p et I2p+1 :



Comme I2p+1 ~ I2p et I2p > 0, on en déduit que :

I2p ~
puis
I2p+1 ~

donc finalement :



Voila sauf erreur de ma part

Joelz

Y'a un bug avec le LaTeX ???
je regarde ça de suite

Oui les \\ c'est quand je saute des lignes

ça m'a l'air corrigé

Oui

Merci Tom_Pascal

salut zeyniba si tu veux aller plus loin, par exemple; si tu veux trouver I2p et I2p+1 (plus précisément les valeur de In selon la parité de n), il suffit de faire une ittération de la formule que tu vien d'obtenir:
si n est paire:
.....
I3=(2/3)I1
I5=(4/5)I3
...
...
...
I2p+1=(2p/2p+1)I2p+1 d'ou I2p+1=2.4.6......2p .
                                1.3.5.7......(2p+1)
De maniere analogue éssais de trouver I2p?

excuz, joelz là déja eu!!

"sauf erreur, cela permet d'établir la formule de Stirling, non?"

plus ou moins

stirling ce demontre en deux etape :

d'abord on montre que n! ~ k*sqrt(n)*(n/e)^n
(resultat obtenu par Moivre)

puis on montre (en etudiant utilisant cette equivalent par exemple) que k=sqrt(2*Pi)

J'aiun petit pb avec la formule de conjecture de I_2p et I_2p+1

I₂= (2-1)/2 I_o = (1/2)Io = (1/2) (pi/2)

avec la formule I_2p on a p=1

en l'appliquant on a : (2x1)! / (2^2x1) (2!)²   x Io = 2/(4x4)Io =1/8 IoI₂= 1/2 Io


Ou est le probleme ?

Salut :

Il n'y a pas de problème :

I₂ = (2-1)/2 I_o = (1/2)I_o = (1/2)(pi/2)  -> OK



donc pour p = 1 :

I_2p = (2!)/[(2²)(1!)²].I₀ = (1/2)I_o = (1/2)(pi/2)

sauf erreurs ...