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Intégration par parties

Posté par
DejaPris 30-04-21 à 14:05

Bonjour à tous,
J'ai dans un exercice de mon livre ces questions :
Pour la question 1, on pourra commencer par calculer g'(x)
Soit g la fonction définie sur l'intervalle [1:+ infinie[ par :
g(x)=\int_{1}^{x}\frac{ln(t)}{t^2}dt
1.a. Déterminer le sens de variation de la fonction g sur[1;+ infinie[
b. Donner une interprétation géométrique du réel g(3)
2. a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que: g(x) = 1-\frac{ln(x)+1}{x}
b. Déterminer la limite de g en +infinie.

Je bloque dès la première question, car est-ce que pour dérivée g, je dois dérivée toute l'intervalle : \int_{1}^{x}\frac{ln(t)}{t^2}dt , car si c'est le cas je n'ai pas appris comment faire, ou dois-je juste dérivée ceci : \frac{ln(t)}{t^2}
Merci d'avoir lu mon énoncé !
Je vous souhaite une bonne journée

Posté par
alb12re : Intégration par parties 30-04-21 à 14:08

salut,
g est par definition la primitive de t->ln(t)/t^2 sur [1;inf[ qui s'annule pour t=1
donc g'x)=??

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégration par parties 30-04-21 à 14:13

Bonjour,
Tu as sans doute dans ton cours quelque chose sur la dérivée d'une intégrale fonction de sa borne supérieure.
Mais tu peux le redémontrer :
Soit F une primitive de la fonction f définie sur [1:+[ par \; f(t) =\frac{ln(t)}{t^2} .
Exprime g(x) en utilisant F ; puis dérive.

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 14:13

Salut,
g'(x) serait donc :  \frac{ln(x)}{t^2} ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégration par parties 30-04-21 à 14:14

Bonjour alb12,
A toi l'honneur

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 14:17

Bonjour Sylvieg, je n'ai pas appris comment trouver une primitive de ln(x), je sais seulement la dérivée.

Posté par
alb12re : Intégration par parties 30-04-21 à 14:25

DejaPris @ 30-04-2021 à 14:13

Salut,
g'(x) serait donc :  \dfrac{ln(x)}{\red{t^2}} ?

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 14:26

Mince, je me suis trompé, ce serait plutôt : g(x)=\frac{ln(x)}{x^2} ?

Posté par
alb12re : Intégration par parties 30-04-21 à 14:55

oui g'(x)

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 30-04-21 à 15:17

salut

PS : on peut très bien ne pas suivre l'indication pour la question 1/ en revenant simplement à la définition d'une fonction (dé)croissante ...

je quitte et reviendrai plus tard ...

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 15:40

Si on prend donc g'(x)=\frac{ln(x)}{x^2}
x^2 \geq 0 donc dépend du signe de ln(x)
ln(x)>0
x>e^1
x>1
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & 1 & & +\infty & \\ {g'} & & - & 0 & + & & \\ {g} & & \searrow & & \nearrow & & \end{array}
Pour la 1.b, g(3) =\int_{1}^{3}{\frac{ln(3)}{(3)^2}}, faut il juste dire que les valeurs de g augmentent très peu ?

Concernant ce que vous dites carpediem, je ne comprends pas très bien ce que vous voulez dire, pourriez vous me l'expliquer ?

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 15:42

petite erreur dans mon précèdent message, ce n'est pas g(1)=3, mais g(1)=0 !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégration par parties 30-04-21 à 16:34

Moi, j'ai très bien compris
carpediem a raison :
Démontrer que si 1 a b alors g(a) g(b) ne nécessite pas de parler de primitive.
g(b) - g(a) est la différence de 2 intégrales que l'on peut réduire à une seule avec Chasles.
g(b) - g(a) = \int_{a}^{b}\frac{ln(t)}{t^2}dt
Et cette intégrale est positive si a b car ....

Ce que je proposais dans mon message de 14h13, c'était d'utiliser l'existence de F, sans donner son expression :

Si F'(x) = f(x) =\dfrac{ln(x)}{x^2} alors g(x) = F(x) - F(1) ; donc g'(x) = ....

Posté par
alb12re : Intégration par parties 30-04-21 à 16:36

le tableau se fait sur [1;inf[ precise l'image de 1
g(3) s'interprete comme une aire, dire laquelle

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 17:38

alb12, l'image de 1 est 0, j'ai oublier de le mentionner dans mon tableau.
Concernant g(3), c'est le résultat de l'intégrale de 1 à 3 , autrement dit l'aire de la courbe de 1 à 3 sur l'axe des abscisses est donc le résultat de \int_{1}^{3}{\frac{ln(3)}{3^2}}dt ?
Sylvieg, pour compléter votre phrase, a<b car g est croissante. J'ai compris l'idée de carpediem !
Pour donc faire suite a votre message de 14h13, cela revient plus ou moins à ce qu'avais dit alb12 auparavant non ?
Concernant la suite voici ce que j'ai fais :g(x)=\int_{1}^{x}{\frac{ln(t)}{t^2}}=\int_{1}^{x}{\frac{ln(t)}{1}*\frac{1}{t^2}}
On prend u=ln(t)/1 u'=1/t
v'=1/t^2, v=-1/t
Donc :
[uv]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{u'v} \\ =[ln(x)*(-\frac{1}{x})]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-\frac{1}{x^2}}) \\ =(-\frac{ln(x)}{x})+\frac{ln(1)}{1}+\frac{1}{x^2}+1 \\ =1-\frac{ln(x)+1}{x}
on retrouve ainsi ce qui est donné dans l'énoncé.
pour la 2.b:
la limite en +infinie de \frac{ln(x)}{x} est de 0, celle de 1/x est de 0 également.
La limite de g en +infinie est donc 1.
Est-ce juste ?
Merci pour toute vos réponses qui m'aident à mieux comprendre cet exercice !



Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégration par parties 30-04-21 à 18:12

Je ne crois pas que tu ais bien compris pour l'idée de carpediem.
Ou c'est une coquille.
L'objectif est de démontrer g croissante sur [1 ; +[.
Tu ne peux donc pas écrire "a < b car g est croissante" pour le démontrer.
Je n'ai peut-être pas été claire.
Dans ce cas je laisserai carpediem suivre mieux que moi son idée.

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 30-04-21 à 18:29

en gros Sylvieg a tout dit de mon idée dans son msg précédent mais peut-être pour repréciser quelques petites choses (en partant de l'idée "qu'on voit" que g est croissante en connaissant son cours sur les intégrales) :

en notant f(x) = \dfrac {\ln x} {x^2} alors g(x) = \int_1^x f(t)dt sur [1, +oo[

sur l'intervalle [1, +oo[ il est alors immédiat que f est positive et donc  que g "va être" croissante (et même positive)

comme Sylvieg l'a écrit ou de façon un peu différente g(b) = g(a) + \int_a^b f(t)dt

donc (à justifier/détailler) si a < b on en déduit que g(a) < g(b) ...

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 18:50

carpediem @ 30-04-2021 à 18:29

f(x) = \dfrac {\ln x} {x^2} alors g(x) = \int_1^x f(t)dt sur [1, +oo[
sur l'intervalle [1, +oo[ il est alors immédiat que f est positive et donc  que g "va être" croissante (et même positive)
Ceci a éclairé mes idées, maintenant pour compléter votre fin de phrase, ce sera toujours confu mais je ferais :
g(a)<g(b), donc 0<g(b)-g(a), l'intervalle de l'intégrale est donc positive.
Sachant que f(t) est positive, g(x) est alors croissant et >0?

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 30-04-21 à 19:03

pour la positivité de g on s'en moque dans un premier temps : c'est plus un moyen de contrôle comme par exemple du tableau de variation

ce que tu écris ne veut pas dire grand chose

1/ se rappeler ou réviser la définition d'une fonction (dé)croissante

2/ $ si $ a \le b $ et $ f \ge 0 $ alors $ \int_a^b f(t)dt \ge 0 : l'intégrale d'une fonction positive est positive (sous-entendu avec les bornes dans le bon ordre)

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 30-04-21 à 19:37

Je crois que j'ai compris ce que vous entendez dire par "définition d'une fonction croissante".
a<b, f(a)<f(b), or cette fonction f est donc croissante sur l'intervalle [a;b]. Sachant que les bornes de l'intégrale sont a et b, et que la fonction et croissante sur ses bornes, cela voudrait donc dire que g(x) est croissant.
Ai-je réussi à résumer la chose, ou suis-je toujours à coté de la plaque ?

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 30-04-21 à 20:03

je n'en suis pas sûr mais peut-être est-ce simplement une confusion entre f et g ...

carpediem @ 30-04-2021 à 18:29

en notant f(x) = \dfrac {\ln x} {x^2} alors g(x) = \int_1^x f(t)dt sur [1, +oo[

sur l'intervalle [1, +oo[ il est alors immédiat que f est positive et donc 2/ $ si $ a \le b $ et $ f \ge 0 $ alors $ \int_a^b f(t)dt \ge 0 : l'intégrale d'une fonction positive est positive (sous-entendu avec les bornes dans le bon ordre)

comme Sylvieg l'a écrit ou de façon un peu différente g(b) = g(a) + \int_a^b f(t)dt \red = g(a) + TRUC et TRUC >= 0

donc (à justifier/détailler) si a < b on en déduit que g(a) < g(b) ...

Posté par
alb12re : Intégration par parties 30-04-21 à 20:58

on se perd dans ce fil

DejaPris @ 30-04-2021 à 17:38

alb12, l'image de 1 est 0, j'ai oublier de le mentionner dans mon tableau.
Concernant g(3), c'est le résultat de l'intégrale de 1 à 3 , autrement dit l'aire de la courbe de 1 à 3 sur l'axe des abscisses est donc le résultat de \int_{1}^{3}{\frac{ln(3)}{3^2}}dt ?
Sylvieg, pour compléter votre phrase, a<b car g est croissante. J'ai compris l'idée de carpediem !
Pour donc faire suite a votre message de 14h13, cela revient plus ou moins à ce qu'avais dit alb12 auparavant non ?
Concernant la suite voici ce que j'ai fais :g(x)=\int_{1}^{x}{\frac{ln(t)}{t^2}}=\int_{1}^{x}{\frac{ln(t)}{1}*\frac{1}{t^2}}
On prend u=ln(t)/1 u'=1/t
v'=1/t^2, v=-1/t
Donc :
[uv]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{u'v} \\ =[ln(x)*(-\frac{1}{x})]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-\frac{1}{x^2}}) \\ =(-\frac{ln(x)}{x})+\frac{ln(1)}{1}+\frac{1}{x^2}+1 \\ =1-\frac{ln(x)+1}{x}
on retrouve ainsi ce qui est donné dans l'énoncé.
pour la 2.b:
la limite en +infinie de \frac{ln(x)}{x} est de 0, celle de 1/x est de 0 également.
La limite de g en +infinie est donc 1.
Est-ce juste ?
Merci pour toute vos réponses qui m'aident à mieux comprendre cet exercice !

tout cela me semble correct

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 01-05-21 à 14:15

carpediem @ 30-04-2021 à 20:03

je n'en suis pas sûr mais peut-être est-ce simplement une confusion entre f et g ...

carpediem @ 30-04-2021 à 18:29


comme Sylvieg l'a écrit ou de façon un peu différente g(b) = g(a) + \int_a^b f(t)dt \red = g(a) + TRUC et TRUC >= 0

donc (à justifier/détailler) si a < b on en déduit que g(a) < g(b) ...

carpediem, je vous avoue que je ne comprends pas très bien cette formulation, ni celle qu'avait écrit Sylvieg dans une autre forme. Ce qui me chagrine, c'est que \int_a^b f(t)dt ceci est sensé être g(x) dans cette exercice (à moins que je l'ai mal compris), cela voudrait donc dire que g(b)=g(a)+g(x), même si g(x) n'est pas définie sur l'intervalle [a;b] ?

Merci alb12 d'avoir pris le temps de m'aidé, de me relire, malgré certaines étourderies de ma part !

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 01-05-21 à 14:35

non :

carpediem @ 30-04-2021 à 18:29

en notant f(x) = \dfrac {\ln x} {x^2} alors \red g(x) = \int_1^x f(t)dt sur [1, +oo[

sur l'intervalle [1, +oo[ il est alors immédiat que f est positive

or  g(b) = g(a) + \int_a^b f(t)dt  à montrer

donc (à justifier/détailler) si a < b on en déduit que g(a) < g(b) ...

Posté par
alb12re : Intégration par parties 01-05-21 à 14:42

Pour moi:

1/a/ on utilise le premier th sur l'integration:
t->ln(t)/t^2 est continue positive sur [1;inf[
g est la primitive de t->ln(t)/t^2 sur [1;inf[ qui s'annule en 1
donc g'(x)=ln(x)/x^2
donc g est strictement croissante sur [1;inf[

1/b/ g(3) est l'aire du domaine delimite par la courbe de t->ln(t)/t^2, l'axe des abscisses, les droites d'equations x=1 et x=3

2/a/ ta redaction est incorrecte

[uv]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{u'v} \\ =[ln(t)*(-\frac{1}{t})]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-\frac{1}{t^2}}) \\ =(-\frac{ln(x)}{x})+\frac{ln(1)}{1}-\frac{1}{x}+1 \\ =1-\frac{ln(x)+1}{x}

2/b/ ok

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 01-05-21 à 15:36

encore faut-il le connaitre ...

la dernière chose apprise en terminale après les primitive et intégrale est ce THE : la fonction g définie par g(x) = \int_a^x f(t)dt est l'unique primitive de f s'annulant en a (avec f "convenable")

avec comme conséquence immédiate que g' = f             (par définition d'une primitive)

bien avant on apprend deux propriétés fondamentales de l'intégrale :
- positivité de l'intégrale
- relation de Chasles

et bien avant encore (en seconde) on apprend la définition d'une fonction (dé)croissante

on peut suivre l'indication et justifier le signe de f puis conclure grâce au cours de première (signe de la dérivée)

j'ai simplement mentionné qu'il n'est pas nécessaire de suivre cette indication pour répondre à la question en utilisant des propriétés de l'intégrale et une définition de seconde ...

Dans les sciences le chemin est plus important que le but. Les sciences n'ont pas de fin.        Erwin CHARGAFF

PS : et on voit combien ce chemin élémentaire pose de difficulté à DejaPris ... il ne me semble pas inintéressant ...

donner une réponse est une chose (et bien sûr ta solution est tout à fait acceptable) mais en tirer quelque chose est sûrement plus enrichissant sur le long terme

quand je vois cela la pièce percée je suis persuadé que l'objectif n'est pas atteint ...

Posté par
alb12re : Intégration par parties 01-05-21 à 16:06

je m'en tiens au programme de terminale [lien] (voir paragraphe calcul integral page 15)

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 01-05-21 à 16:13

je m'en tiens aussi au programme du lycée ...

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties 01-05-21 à 18:03

Tout processus de résolution est bon à prendre en compte, que ce soit du hors programme ou non.
Je vous remercie d'avoir pris le temps de m'aider et de m'expliquer vos deux méthodes différentes, qui sauront pour sûr, m'épauler lors de mes prochaines interrogations !

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 01-05-21 à 18:16

de rien


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