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Intégration par parties sur un interval de R pour Lebesgue
Bonjour, j'aimerais savoir s'il exite une formule d'intégration par parties pour l'intégrale de Lebesgue (et sur un intervalle, pas juste un segment!).
Par ailleurs, une intégrale généralisée au sens de Riemann est-elle égale à une intégrale de Lebegue sur le même intervalle ? Et avez vous un lien vers une démonstration ?
Voilà, je n'ai pas trouvé ces informations sur internet, j'espère que j'aurai la réponse à mes question !
Merci d'avance
Bonjour jlouisw.
Il faut savoir une chose : c'est que toute fonction Riemann-intégrable (au sens strict de la définition) est Lebesgue intégrable et les intégrales coïncident.
Conséquence : toutes les formules pour Riemann sont valables pour Lebesgue.
On peut étendre la définition de l'intégrale de Riemann sur des intervalles quelconques. Ces définitions donneront pour Lebesgue les mêmes résultats.
Il n'y a donc pas de formule IPP particulière pour Lebesgue.
Bonjour jsvdb,
Sur le premier point, je sais déjà (je connais la démonstration).
Par contre, concernant le point : « On peut étendre la définition de l'intégrale de Riemann sur des intervalles quelconques. Ces définitions donneront pour Lebesgue les mêmes résultats. » auriez-vous une référence sur internet de la démonstration ? (Je vous fais confiance et ce résultat paraît logique mais j'aime bien avoir la démonstration).
Autre point : je sais qu'il existe des fonctions admettant une primitive et pourtant non Riemann integrable. Peut être qu'une formule d'intégration par parties pour Lebesgue de telles fonctions serait intéressantes ?!
Autre point : je sais qu'il existe des fonctions admettant une primitive et pourtant non Riemann integrable. Peut être qu'une formule d'intégration par parties pour Lebesgue de telles fonctions serait intéressantes ?!
La réponse est simple : il ne faut pas confondre primitive et intégrale.
Admettre une primitive est un concept indépendant de toute construction d'intégrale.
L'IPP est donc indépendante de toute construction d'intégrale.
L'IPP consiste juste à transformer l'expression
« On peut étendre la définition de l'intégrale de Riemann sur des intervalles quelconques. Ces définitions donneront pour Lebesgue les mêmes résultats. » auriez-vous une référence sur internet de la démonstration ?
Là, tout de suite sous la main, je n'ai pas de références.
Mais c'est assez simple à comprendre à la base.
Riemann généralisé n'est rien d'autre qu'une histoire de passage à la limite.
Prenons un exemple : f(x) = 1/x² avec x dans I = [1, +inf[.
f n'est pas Riemann-intégrable au sens strict car son domaine n'est pas borné.
Néanmoins, la fonction est continue et donc est R-intégrable sur tout In = [n,n+1].
On va donc dire que l'intégrale de Riemann de f sur I sera la somme des intégrales de f sur chacun des In.
Bien entendu, on aura pris soin de montrer qu'on arrive au même résultat pour tout autre découpage "raisonnable" de I.
On écrira donc par défiition
f est L-Intégrable sur I. Mais alors comment calculer son intégrale ?
On va avoir recours à Riemann en disant l'intégrale de Lebesgue de f sur In est la même que celle de Riemann sur In ainsi que pour tout autre découpage "raisonnable" de I.
Par ailleurs, l'intégrale de Lebesgue, par construction, supporte facilement des égalités comme
Comme
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