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Intégration par rapport à une mesure
Bonjour à tous,
Voilà un corrigé que je ne comprends pas (un de plus 
). L'énoncé de l'exercice était : Le carré d'une fonction intégrable est-il intégrable.
Le corrigé est :
Une fonction intégrable n'est pas forcément de carré intégrable. Par exemple, la fonction inverse 1/x est intégrable sur ]0,1] par rapport à la mesure x dx et son intégrale vaut 1, tandis que l'intégrale de son carré par rapport à la même mesure est infinie.
Sauf que, je ne comprends pas en quoi x dx est une mesure. Je ne vois même pas ce que cela représente (c'est pour dire... 
)
Pourriez-vous m'éclairer svp.
Merci à vous.
Quand j'écris "Jene vois ême pas ce que cela représente", je veux dire x dx, je sais ce qu'est une mesure
x dx est une notation pour la mesure m définie par .
En fait dx est une notation pour la mesure de Lebesgue sur R et f(x)dx est une notatin pour la mesure sur R qui admet comme "densité" f par rapport à la mesure de Lebesgue.
Ainsi on a
D'accord, et donc dans ce cas précis, la fonction 1/x est raisonnable, donc les deux intégrales (Lebesgue et Riemann) sont égales et on simplifie par x ? Et en effet l'intégrale de 1 sur ]0,1] vaut 1 et celle de 1/x =x. 1/x² vaut +oo
Merci beaucoup pour votre aide !!
Une autre question :
Si l'on écrit : .p.p.
converge quand n tend vers
Cela signifie t'il que {
ne converge pas} = 0
ce qui reviendrait à
converge quand n tend vers
Ce n'est pas la peine d'aller si loin.
Tu prends f= x->1/x et g=racine de f
g est intégrable pour la mesure de Lebesgue sur ]0,1] et non f.
C'est sensiblement la même chose mais ca ne fait pas appel à une mesure créée pour l'occasion.
a+
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