Bonjour Liloue

1) Comme cela est suggéré, tu dois faire une IPP en intégrant le sinus et en dérivant u.
2)Ici, f est clairement de classe C¹ sur ]0,]. Il reste à montrer que f est continue en 0, dérivable en 0 et que la dérivée est continue en 0. Pour ne rien te cacher, il faudra faire des DL.

3)il suffit de combiner les deux égalités que tu as écrites en faisant rentrer la somme dans l'intégrale.
Pour simplifier l'expression, je te conseille d'utiliser la formule de trigo suivante : .

Kaiser

en effet j'ai aussi avancé de mon coté..

1) l'intégration par partie fonctionne si je peux démontrer tend vers 0 pour l tendant vers +infini, c'est toujours vrai ?

2) j'ai prouvé que la fonction est continue et dérivable, je cherche maintenan a prouver que la dérivée est continue...

je vais donc essayer les dl pour avoir la limite en 0..

3)je vais essayer avec tes indications

Bonsoir Liloue

Pour la 1), effectivement, c'est vrai parce qu'on a supposé que u était de classe C¹, donc u' est continue sur le segment [0,], donc |u'| est bornée par un certain M. Ainsi, tu peux majorer ce qui est sous l'intégrale en valeur absolue par M/l, donc le tout est majoré en valeur absolue par M/l qui tend vers 0 quand l tend vers l'infini.

Kaiser

ok kaiser ! pour la 1 et la 3 c'est bon !

par contre la 2...je dois faire des erreurs parce que je tombe sur des impossibilités compte tenu de l'ennoncé...
peut tu juste me débuter le calcul avec les dl afin que je puisse vérifier si déja au départ je pars comme il faut...

On en déduit que

Je te laisse continuer les calculs si passionnants !

Kaiser

j'ai un souci avec les DL...j'ai donc divisé ton résultat pas le dl de sin(t/2) élevé au carré et ca me done pas une limite nulle en 0...

Bonsoir Liloue

Ben justement, on doit pas trouver une limite nulle. ça doit tendre, d'après mes calculs, vers .

Je retrouve ce résultat en calculant la limite du taux d'accroissement en 0.

Kaiser

nous devons démontrer que f'est continue en 0, or d'après l'ennoncé,
f'(o)=0et nous devons donc prouver que lim f'(x) quand x tend vers 0 est égale à 0
(avec f'(x) défini précédemment..)

or ce n'est pas ce que l'on trouve, donc la fonction f' ne serait pas continue...d'ou le problème !

Désolé, mais ça tu l'as pas marqué dans ton premier message. Tu as simplement dit que f(0)=-1

Bonjour,
f' admet un dl en 0 donc f' admet une limite en 0
il faut maintenant prouver que cette limite en 0 et la meme que la valeur de f' en 0..
or nous avons juste comme indication f(0)=-1 et sur ]0,pi] f'(t)=1/2pi + o(t²) (ou la valeur définie précedemment)

comment faire ?

Bonjour Liloue

Avec le DL que tu as écrit dans ton message, on sait que f' admet une limite en 0 qui vaut .
Ce qu'il reste à faire, c'est calculer la limite du taux d'accroissement quand t tend vers 0 et on doit montrer que cette limite vaut elle aussi . Ainsi, avec ça et la continuité de f, f sera de classe C¹. J'ai déjà effecter les calculs de mon côté et je trouve cette limite.

Kaiser