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intégrer (tan x)^3

Posté par
aaron123 28-10-13 à 20:02

Bonjour,

J'ai un exercice dans lequel on propose d'intégrer tan3 x sur ]-/2 ; /2[.
Il y a bien la méthode qui consiste à faire apparaître la dérivée de tan x.
On a donc tan3x dx = tan x (1 + tan2 x) dx - tan x dx.
Bon, voilà.

Au départ, j'étais parti sur un changement de variable en posant u = cos x. Donc on a du= -sin x.
Et donc tan3x dx = sin3/cos3 dx = (u2 - 1)/u3 du. (avec la borne en cos x.)
Mais ça foire parce qu'à la fin, on a bien le ln |cos x| par contre le second terme devient 1/2 * 1/cos2 x donc je perds un sin2x quelque part dans mon calcul.

Peut-on me dire si j'ai bien le droit de faire ce changement de variable avec le cosinus sur cet intervalle, et si oui, où est-ce que je perds mon sinus2 !?

Merci !

Posté par
flightre : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 20:29


salut

en posant tgx = sinx/cosx  et en posant le chgt de variable  x = arctgt

et en sachant que  sin²x= tg²x/(1+tg²x)   et cos²x = 1/(1+tg²x)   essaies....

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 21:11

Merci !
Ton changement de variable marche bien. Je retombe bien sur tan2x / 2 - ln |cos x| + C.
Par contre, ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi mon changement avec cosinus ne marche pas.

On a sin3x / cos3x dx = -sin2x / cos3x du = (cos2x - 1) / cos3x du = (u2 - 1) / u3 du = [ln |u|] + [1/2u2]

Donc quand je remplace finalement u par cos x, je n'obtiens pas ce que je devrais avoir...
Je ne vois pas où je fais faux... peut-être dans le changement de variable qui serait interdit ? je ne sais pas !

merci !

Posté par
iciparisonziemere : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 21:47

Seul le deuxième résultat est correct  d'après mes calculs.  En posant t = tan(x/2) j'obtiens :


           [  t2 -  ln(1+t2) ]/2

Soit, puisque 1+t2 = 1/c2

           [  tan2 -  ln(1/cos2) ]/2

ou encore :

        [  tan2 +  ln(cos2) ]/2  =   [  tan2 +  2ln( cos ) ]/2 =  tan2/2 +  ln( cos )

Je n'ai mis ni les "x" ni la valeur absolue à la fin

Si tu calcules la différence entre ce résultat et le tout premier tu trouves -1/2.

C'est tout à fait normal car deux primitives d'une même fonction sur le même intervalle diffèrent d'une constante.

Posté par
iciparisonziemere : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 21:47

J'ai voulu dire : les DEUX sont corrects !

Posté par
iciparisonziemere : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 21:49

J'espère que tu t'y retrouveras dans ce que j'ai dit...

Posté par
LeDinore : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 22:17

Citation :
Mais ça foire parce qu'à la fin, on a bien le ln |cos x| par contre le second terme devient 1/2 * 1/cos2 x donc je perds un sin2x quelque part dans mon calcul.

Pas de panique...
Le résultat que tu trouves c'est :  I = \dfrac {1}{2\cos^2 x} - \ln|cos x| + K

\implies I = \dfrac {\sin^2 x + \cos^2 x}{2\cos^2 x} - \ln|cos x| + K

\implies I = \dfrac {\tan^2 x }{2} + \dfrac {1}{2} - \ln|cos x| + K

\implies I = \dfrac {\tan^2 x }{2} - \ln|cos x| + K'

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 22:22

Bonsoir

Le changement de variables u = \cos x n'est valable sur [-/2;/2] car la fonction u = \cos x nest pas une bijection sur [-/2;/2].
Ce que tu as \int \tan^3x dx = \int \tan x (1 + \tan^2 x) dx - \int \tan x dx était peut-être directement utilisable pour la recherche de primitives.
Autre remarque: On a affaire à une intégrale impropre sur une intervalle symétrique par rapport à 0 d'une fonction impaire, elle sera ..... si l'intégrale ........ .

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 23:13

Après avoir remarqué que \frac {1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x, déjà, ça simplifie des choses. Après il me reste un problème de signe pour le logarithme.

Mais c'est là que la remarque de delta-B ravive et conforte un lointain souvenir : je me doutais qu'il fallait respecter une histoire de bijection. Donc le changement de variable en cosinus ne fonctionne pas sur cet intervalle.

Si on se restreint pour l'étude à [0, /2[, le changement de variable en cosinus devrait marcher...
Ensuite, si on a un x < 0, il faut considérer l'opposé (puisque fonction impaire donc l'aire sous la courbe ... ). Bon, je vais vérifier si ça marche pour une valeur ou deux...

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 23:33

Bon, si on se restreint à [0,/2[ je ne vois pas pourquoi le changement de variable en cosinus ne fonctionnerait pas. Donc sur cet intervalle mon résultat ne devrait pas être faux !! Et pourtant !! Il y a ce problème de signe sur le ln...

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 28-10-13 à 23:55

Le changement de variables est valable sur chacun des intervalles des intervalles  [-/2;0] et  [0;/2], il est croissant dans l'un des intervalles et décroissant dans l'autre.

Posté par
alexrere : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 00:24

Salut,
\int{\tan x(1+\tan {}^\text{2}x)dx} est du type \int{f(x)f'(x)dx} une primitive est donc \frac{1}{2}f{}^\text{2}(x)

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 01:06

@Alexre : salut ! Oui oui, je sais, je connais la réponse de mon intégrale et tout, là, j'aimerais réussir à finir avec ma première idée avec le changement de variables avec le cosinus, même si ce n'est pas le plus astucieux. Histoire de me débloquer...

@Delta-B : sur [-/2;0], le changement de variables est croissant et décroissant sur l'autre intervalle.
donc si on se place sur le premier, croissant (cos x et c croissent dans le même sens), je fais mon changement de variables en cos.
Je finis par obtenir ça :
(u2 - 1) / u3 du.
ce qui fait 1/u du - 1/u3 du
soit ln u + 1/2 * 1/u2 avec u = cos x
Donc ça, c'est pour l'intervalle [-/2;0]. (et ça devient d'ailleurs ln cos x + 1/2 * tan2x)

Pour l'autre intervalle, le changement de variables est décroissant. Cela dit, je ne vois pas trop ce que ça change... J'effectue mon changement de variables et j'obtiens (logiquement) la même expression.

Résultat : il y a bien une différence entre
1/2 * tan2x + ln cos x
et
1/2 * tan2x - ln cos x  ! (le vrai bon résultat)

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 01:36

L'un garde les bornes dans le même ordre, l'autre les inverse !!! De plus Les primitives que tu trouves ne sont pas définies sur le même intervalle !!!

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 10:59

Bon, ok pour les bornes qui s'inversent. En les remettant dans le sens plus classique, on a un -. (dans mon bouquin de MPSI, ils indiquent trop mal les bornes, ce sont de gros sales !) (ou bien en faisant le calcul, on a le - qui apparaît tout seul et le reste dans la constante, bref)

Donc ok, mes deux primitives, chacune sur leur intervalle. Pourtant, par exemple en -/4, je ne devrais pas avoir la même valeurn soit par la véritable primitive (sur I) soit par ma primitive sur l'intervalle ]-/2;0] ?

Posté par
alainpaulre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 11:08

Bonjour,


En remarquant que tg(x) est une fonction impaire ,le calcul
de l'intégrale se résume à
\int_{-\pi /2} ^{\pi /2}{ tg( x)(tg^2(x)+1) dx.



Alain

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 11:26

Bonjour Alain,

Bien que je ne vois pas en quoi la "l'imparité" de la fonction tangente entre en considération, je sais que c'est en faisant apparaître les dérivées de la fonction dans l'intégrale qu'on peut alors la calculer.

Cependant, je suis maintenant surtout curieux de comprendre pourquoi le changement de variable en cosinus sur chacun des intervalles ne me permet pas de retrouver le résultat.

Posté par
alainpaulre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 11:32

Let us see..

La fonction tangente est impaire ,sa primitive paire,
les bornes étant de signes opposés...


Pour les changements trigonométriques ,il faut voir,
je crois les règles dites de Bioche ,celles-ci me sont
peu familières,


Alain

Posté par
idmre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 11:36

et en posant tout simplement x=arctan u ?

Posté par
idmre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 11:37

x=\arctan u ?

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 13:00

x = \arctan (u) donc \mathrm dx = \frac {1}{1+u^2} \, \mathrm du
donc \int \tan ^3 (x) \, \mathrm dx = \int \frac {u^3}{1+u^2} \, \mathrm du
Ok, je crois qu'on peut s'en sortir.

Mais ma question porte sur : pourquoi avec cosinus ça ne marche pas !

Posté par
lediletantexre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 14:31

Bonjour;

En posant

U=cos(x) les bornes prennent pour valeur

U=cos(-pi/2)=0

U=cos(pi/2)=0

Posté par
lediletantexre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 15:08

tan^3(x) est impaire les bornes étant identiques l'intégrale est nulle

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 15:12

Bonjour.

t \in [0,\pi/2[.

\int_0^{t} \tan^3xdx=\int_0^{t} \tan(x)(1+\tan^2(x))dx-\int_0^{t} \tan(x)dx

u=\cos(x)  d'où du =-\sin(x)dx, x=0 \Rightarrow u=1  x=t<\pi/2 \Rightarrow u=\cos(t)<1

\int_0^{t} \tan(x)dx=\int_1^{\cos(t)} \dfrac{-du}{u}=\int_{\cos(t)}^{1} \dfrac{du}{u}= (\ln|u|)|_{cos(t)}^1=\ln(|1|)-\ln(|\cos(t)|)= -\ln(|\cos(t)|) \\

t \in ]-\pi/2,0]

\int_t^{0} \tan^3xdx=\int_t^{0} \tan(x)(1+\tan^2(x))dx-\int_t^{0} \tan(x)dx

u=\cos(x)  d'où du =-\sin(x)dx, x=0 \Rightarrow u=1  x=t>-\pi/2 \Rightarrow u=\cos(t)<1

\int_t^{0} \tan(x)dx=\int_{\cos(t)}^1 \dfrac{-du}{u}= -(\ln|u|)|_{\cos(t)}^1=-\ln(|1|)+\ln(|\cos(t)|)= \ln(|\cos(t)|)

Posté par
Camélia Correcteurre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 15:20

Bonjour

Il y a de la confusion!

C'est vrai que pour une fonction impaire on a \int_{-a}^a f(t)\,dt=0 sur tout intervalle où l'intégrale est définie.

Ici, on a une intégrale indéfinie.

Par définition si elle existe,
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t)dt=\lim_{\begin{matrix}a\to -\pi/2_+\\ b\to \pi/2_-\end{matrix}} f(t)\, dt

et comme la présente fonction n'est pas intégrable, ladite limite n'existe pas!

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 15:29

REMARQUE:

L'écriture \int \tan^3xdx=\int \tan(x)(1+\tan^2(x))dx-\int \tan(x)dx conduit à manipuler des intégrales impropres divergentes alors que l'intégrale \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \tan^3xdx converge et \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tan^3xdx=0 (voir Aaron 29/10/13, 13h00)

Posté par
Camélia Correcteurre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 15:38

Eh bien non... Elle ne converge pas plus... si x varie de -\pi/2 à \pi/2
en posant x=\arctan(u) on doit faire varier u de -\infty à +\infty et la fraction rationnelle qu'il a trouvée, est superbement divergente, vu qu'elle ne tend même pas vers 0 à l'infini!

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 16:30

Oh! j'avais omis de mettre les bonnes bornes. Le comble est que j'avais parlé de ça (28-10-13 22h22), J'avais entre autre écrit:  On a affaire à une intégrale impropre sur une intervalle symétrique par rapport à 0 d'une fonction impaire, elle sera ..... si l'intégrale ........ . J'avais voulu qu'on me réponde: elle sera nulle si l'intégrale converge.  

Posté par
Camélia Correcteurre : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 16:38

Oui, comme tout le monde y allait de son idée, je me suis dit que "Pourquoi pas moi?"

Posté par
aaron123re : intégrer (tan x)^3 29-10-13 à 18:23

Alors alors...

Que dire de tout ça ? Que le forum est bien actif !

Et que mon bouquin est mal rédigé (changement dans le programme, nouvelle édition et donc, première version du bouquin... J'ai demandé par mail un formulaire des corrections, on m'a répondu que si je voyais d'autres erreurs, je pouvais leur en faire part... Entre nous, vu le prix de ces bouquins, c'est un peu abusé que ce soit à moi de leur signaler leurs erreur... Bref)

L'exercice ne consiste pas à calculer l'intégrale de \tan^3 entre }-/2; /2[ mais seulement de trouver une/les primitive(s). (mais on me précise l'intervalle, c'est ce qui a du faire croire qu'on voulait calculer l'intégrale).

En reprenant les notations du livre, j'ai \int^x \tan^3 t \, \mathrm dt que je veux calculer.

J'ai bien compris le truc de faire apparaître la dérivée de la fonction tangente.
Seulement, comme je n'ai aucune intuition sur ce genres de choses, j'étais au départ parti sur un changement de variables en posant u = \cos t.
ça me donnait donc \int^{\cos x} \frac{u^2-1}{u^3} \, \mathrm du = \int^{\cos x} \frac {1}{u} \, \mathrm du - \int^{\cos x} \frac {1}{u^3} \, \mathrm du .
J'intègre. [\ln (u)]^{\cos x} - [\frac{-1}{2u^2}]^{\cos x} = \ln (\cos x) + \frac{1}{2} \times \frac{1}{\cos^2 x} + Constante
En remplaçant \frac{1}{\cos^2 x} par 1+\tan^2 x et en rentrant le 1/2 dans la constante, on obtient
\ln (\cos x)+ \frac{\tan^2 x}{2} + C.

Ce qui après vérification semble correct. hum... Bon. Tant mieux n'est-ce pas ?!

Donc mon changement de variables marchait bien. Mais ... pourquoi Delta-B me disais-tu que le changement de variables avec cosinus devait se faire sur l'un ou l'autre intervalle ? Pour le calcul de primitive, on s'en fiche non ?

Posté par
delta-Bre : intégrer (tan x)^3 30-10-13 à 01:08

Bonsoir.

1ère remarque:

1)

Citation :
En reprenant les notations du livre, j'ai \int^x \tan^3 t \, \mathrm dt que je veux calculer.

L'écriture \int^x \tan^3 t \, \mathrm dt n'a aucun sans.

Quand on calcule une intégrale, on donne les deux bornes et on a affaire à une intégrale définie ou à une intégrale impropre soit aucune et on affaire à un calcul de primitive.

2)
Citation :
J'ai un exercice dans lequel on propose d'intégrer tan3 x sur ]-/2 ; /2[.

Ceci veut dire qu'on s'intéresse à l'intégrale (impropre) \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tan^3xdx. Alors que tu cherchais toi les primitives de \tan^3x sur l'intervalle ]-/2 ; /2[

3) Le changement de variable u=\cos(x) que j'ai utilisé était pour la recherche d'une primitive de  \tan^3x sur l'intervalle ]-/2 ; /2[ et tel que je l'avais fait la primitive de \tan^3x sur l'intervalle ]-/2 ; /2[ s'annulant en 0.

4) J'avais fait effectivement une erreur, la primitive de \tan^3x s'annulant en 0 s'écrit toujours \int_0^{t} \tan(x)dx que t soit positif ou négatif. Pour t<0, l'intégrale \int_t^{0} \tan(x)dx n'est pas la primitive de \tan^3x sur l'intervalle ]-/2 ; /2[ s'annulant en 0 mais son opposée
5) Ma remarque concernant le changement de variables tient toujours. Calcules \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x)dx directement et avec le changement de variables u=cos(x).


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