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intégrité

Posté par
fusionfroide 10-03-08 à 20:02

Salut

Soit $A=\mathbb{Z}[X]$ et I l'ensemble des polynômes de termes constants pair

Montrer que I est un idéal (ok) et montrer qu'il n'est pas principal

Donc on a supposé que $I=(P_0)$

On a : $I=(2,X)$

$2 \in I$ donc $P_0$ divise 2 ie $2=P_0Q$ donc comme $\mathbb{Z}[X]$ est intègre, on a : $deg(P_0)=0$ ou $deg(Q)=0$

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi alors on a $P_0=\neq 2$

Il y a comme justification : sinon : $(\neq 1)=\mathbb{Z}[X]$

Merci

Posté par re : intégrité 10-03-08 à 20:02

pardon, au lieu de \neq c'est \pm

Posté par re : intégrité 10-03-08 à 20:04

Re salut

Ben si deg(P0)=0 et que P0 divise 2 on a pas trop le choix si?

Posté par re : intégrité 10-03-08 à 20:24

Salut Jord,

Je me suis mal exprimé : je ne comprends pas la justification : $(\pm 1) =\mathbb{Z}[X]$

Posté par re : intégrité 10-03-08 à 20:34

Salut à tous

fusionfroide > c'est un idéal. S'il contient 1 il contient -1 et s'il contient -1, il contient 1 (car c'est un groupe).
Par suite, il contient tous les polynômes P (car P égale à P multiplié par 1).
Plus généralement, si on a un idéal d'un anneau A qui contient un inversible de A, alors cet idéal c'est l'anneau tout entier.

Kaiser

Posté par re : intégrité 10-03-08 à 20:41

Merci kaiser

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