1.Soit tu y vas point par point en prouvant la double inclusion .
  ..Si x n'est pas intérieur à A alors .....x est adhérent à A^c .
  ..inversement...

2.Soit tu utilises
   .l'intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A .
   . l'adhérence de B est le plus petit fermé contenent B .

Pourriez-vous développer votre première méthode ? C'est celle-ci qui m'intéresse et je ne vois pas trop comment continuer

Bonjour

(kybjm est déconnecté, je prends la suite)

x intérieur à A: il existe un ouvert O contenant x  tel que O A (c a d O A^c = )

x non intérieur à A: quelque soit l'ouvert O contenant A, O A^c

ce qui est une définition de : x adh(A^c)

donc la première inclusion est vérifiée.

A toi!

Bonjour . J'aimerais la seconde inclusion

Bonjour Essomana.

Dire que c'est dire que A est voisinage de x.

Ceci équivaut à dire qu'il existe un ouvert tel que .

Mais est un fermé contenant donc .

Or par définition donc ie .

Par suite ou, ce qui est plus présentable :

Formellement cela donne :

Et il y a une façon très simple de voir les choses :

Il ne faut pas perdre de vue qu'ouverts et fermés jouent en complémentarité et qu'intérieurs et adhérence jouent sur la maximalité des objets.

est LE plus grand ouvert (au sens de l'inclusion) inclus dans A.

Donc est un fermé, il contient évidemment et c'est LE plus petit fermé contenant (parce que s'il y avait plus petit, alors j'aurai un ouvert plus grand inclus dans A tel que etc etc). Donc par définition, c'est .