Bonsoir à tous.
J'ai besoin d'un petit coup de main en topologie. N'étant pas encore très à l'aise avec ces notions, pourriez vous me confirmer la méthodologie que j'ai employé pour déterminer l'intérieur de ces deux ensembles :
]5,7] :
On considère donc que l'intérieur est ]5,7[. Soit x=7 le point qui n'est pas intérieur.
On pose = min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,
/2) est incluse dans ]5,7[.
Je vois mal ce que je peux ajouter de plus, mais en même temps j'ai pas l'impression d'avoir été formel, peut être que la définition m'a échappé.
(1)[5,7[
On considère donc que l'intérieur est ]5,7[. Soit x=1,7 le point qui n'est pas intérieur.
On pose = min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,
/2) est incluse dans ]5,7[.
On considère le point x=1, donc B(1,) = [1-
,1+
[, et y existe dans cette boule tel que y<1 et y
(1)
[2,5[.
Je me demande vraiment si j'ai utilisé une méthodologie cohérente/formelle. Pourriez vous me confirmer ça ou me dire ce qui cloche ?
En vous remerciant d'avance
Bonsoir,
Tout d'abord, c'est quoi ta définition de l'intérieur d'un ensemble ?
Ensuite, il y a plein d'erreur dans ton raisonnement, par exemple dans le premier exo :
¤ tu ne peux pas "considérer" que ]5,7[ est l'intérieur, c'est ce que tu veux montrer.
¤ tu commences par dire "soit x=7 le point qui n'est pas intérieur". Ceci est une affirmation, tu ne montres rien là.
¤ tu poses e=min(5-x,7-x) et on ne sait pas qui est vraiment x ? De plus min(5-x,7-x) est strictement négatif pour tout x<7.
Lors de la dernière séance on a montré que l'intérieur de la boule fermée est la boule ouverte. Par ailleurs on a la définition d'un point intérieur qui est AE, x est un point intérieur à A s'il existe
>0 tel que B(x,
)
A. On appelle intérieur de A= intA l'ensemble des points intérieurs.
Donc corrigeons le tir :
-On veut montrer que ]5,7[ est ouvert, et que le point x=7 n'est pas un point intérieur.
Et là effectivement ça va poser problème, comment je définie mon , sachant que j'ai x=7, mais que je veux
> 0 ?
Sinon merci beaucoup pour cette réponse rapide
Déjà :
¤ Y a t-il un probleme pour montrer que ]5,7[ est un ouvert ?
Ensuite :
¤ Par ta définition d'être un point intérieur : x N'est PAS un point intérieur à A si pour tout e>0, B(x,e) n'est pas inclus dans A.
Dans ton cas, que vaut B(7,e) pour tout e>0 ? Est-il dans ]5,7[ ? Conclusion.
Au temps pour moi, j'ai écrit ça hier soir je devais être un peu fatigué.
x=5 ( et pas 7 ), auquel cas ça résout le problème du <0, et mon cheminement devient valide na ?
Non ca ne règle rien du tout.
Pour l'instant on s'intéresse ta première question : trouver l'intérieur de ]5,7].
Tu conjectures que c'est ]5,7[ et nous essayions de le montrer. Pour cela, tu as dis toi même qu'il suffisait de vérifier 2 choses :
¤ ]5,7[ est un ouvert et
¤ 7 n'est pas un point intérieur.
Jusque là, c'est ok ?
si tu définis l'intérieur d'un ensemble B comme le plus grand ouvert contenu dans B, alors nous sommes d'accord que l'intérieur de ]5,7] est
]5,7[.
Pour moi le fait de poser :
= min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,/2) est incluse dans ]5,7[, c'était suffisant pour vérifier mon hypothèse initiale sur l'intérieur, de part la définition de la boule. Je vois pas ce que je pourrais rajouter.
En tout cas merci pour vos réponses.
>
Désolé pour mon manque de rigueur. Je te cache pas que jusqu'à maintenant les mathématiques consistant à " montrer que " sont encore assez abstraites pour moi, j'ai parfois tendance à aller à droite à gauche sans réellement organiser ma pensée.
Donc pour prouver que 7 n'est pas intérieur, je pourrais montrer que l'intérieur trouvé précédemment est le plus grand des ouverts. Autrement dit il n'existe pas d'ouvert plus grand inclus.
On considère donc le point x=7, tel que B(7,) = :]5+
;7[, Alors 7 n'est pas intérieur.
Bah justement, après ce que tu as dit je ne vois pas ce qu'il faut ajouter, car tu reprends la définition même, et dans mon esprit tout a été montré, j'ai beau lire attentivement ce que tu as écrit, mais une fois qu'on a énoncé l'intervalle ]7-,7+
[, on a terminé.
Ok !
Dans ce cas, je me permets de récapituler ce qu'on a fait pour montrer que l'intérieur de ]5,7] est ]5,7[ :
¤ Tout d'abord on a montré que tout point de ]5,7[ était un point intérieur à ]5,7].
En effet, pour tout x dans ]5,7[, est toujours inclus dans l'ensemble ]5,7].
¤ On a montré que 7 n'était pas un point intérieur :
En effet, pour tout e>0, la boule B(7,e)=]7-e,7+e[ n'est jamais inclus dans ]5,7] : 7+e>7 !
Donc l'ensemble des points intérieurs à ]5,7], c'est à dire l'intérieur de ]5,7], est ]5,7[.
Je te laisse faire de même pour ton deuxième exercice. C'est presque le même raisonnement.
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