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Niveau Licence Maths 1e ann
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Intérieur d'un ensemble.

Posté par
akg
15-03-11 à 21:27

Bonsoir à tous.

J'ai besoin d'un petit coup de main en topologie. N'étant pas encore très à l'aise avec ces notions, pourriez vous me confirmer la méthodologie que j'ai employé pour déterminer l'intérieur de ces deux ensembles :

]5,7] :

On considère donc que l'intérieur est ]5,7[. Soit x=7 le point qui n'est pas intérieur.
On pose = min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,/2) est incluse dans ]5,7[.
Je vois mal ce que je peux ajouter de plus, mais en même temps j'ai pas l'impression d'avoir été formel, peut être que la définition m'a échappé.

(1)[5,7[

On considère donc que l'intérieur est ]5,7[. Soit x=1,7 le point qui n'est pas intérieur.
On pose = min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,/2) est incluse dans ]5,7[.
On considère le point x=1, donc B(1,) = [1-,1+[, et y existe dans cette boule tel que y<1 et y(1)[2,5[.

Je me demande vraiment si j'ai utilisé une méthodologie cohérente/formelle. Pourriez vous me confirmer ça ou me dire ce qui cloche ?

En vous remerciant d'avance

Posté par
Narhm
re : Intérieur d'un ensemble. 15-03-11 à 21:53

Bonsoir,

Tout d'abord, c'est quoi ta définition de l'intérieur d'un ensemble ?

Ensuite, il y a plein d'erreur dans ton raisonnement, par exemple dans le premier exo :
¤ tu ne peux pas "considérer" que ]5,7[ est l'intérieur, c'est ce que tu veux montrer.
¤ tu commences par dire "soit x=7 le point qui n'est pas intérieur". Ceci est une affirmation, tu ne montres rien là.
¤ tu poses e=min(5-x,7-x) et on ne sait pas qui est vraiment x ? De plus min(5-x,7-x) est strictement négatif pour tout x<7.

Posté par
akg
re : Intérieur d'un ensemble. 15-03-11 à 22:13

Lors de la dernière séance on a montré que l'intérieur de la boule fermée est la boule ouverte. Par ailleurs on a la définition d'un point intérieur qui est AE, x est un point intérieur à A s'il existe >0 tel que B(x,)A. On appelle intérieur de A= intA l'ensemble des points intérieurs.

Donc corrigeons le tir :

-On veut montrer que ]5,7[ est ouvert, et que le point x=7 n'est pas un point intérieur.


Et là effectivement ça va poser problème, comment je définie mon , sachant que j'ai x=7, mais que je veux > 0 ?

Sinon merci beaucoup pour cette réponse rapide

Posté par
Narhm
re : Intérieur d'un ensemble. 15-03-11 à 22:20

Déjà :
   ¤ Y a t-il un probleme pour montrer que ]5,7[ est un ouvert ?

Ensuite :
   ¤ Par ta définition d'être un point intérieur : x N'est PAS un point intérieur à A si pour tout e>0, B(x,e) n'est pas inclus dans A.
Dans ton cas, que vaut B(7,e) pour tout e>0 ? Est-il dans ]5,7[ ? Conclusion.

Posté par
akg
re : Intérieur d'un ensemble. 16-03-11 à 14:22

Au temps pour moi, j'ai écrit ça hier soir je devais être un peu fatigué.
x=5 ( et pas 7 ), auquel cas ça résout le problème du <0, et mon cheminement devient valide na ?

Posté par
Narhm
re : Intérieur d'un ensemble. 16-03-11 à 14:27

Non ca ne règle rien du tout.

Pour l'instant on s'intéresse ta première question : trouver l'intérieur de ]5,7].
Tu conjectures que c'est ]5,7[ et nous essayions de le montrer. Pour cela, tu as dis toi même qu'il suffisait de vérifier 2 choses :
¤ ]5,7[ est un ouvert et
¤ 7 n'est pas un point intérieur.

Jusque là, c'est ok ?

Posté par
alfakir
re : Intérieur d'un ensemble. 16-03-11 à 15:58

si tu définis l'intérieur d'un ensemble B comme le plus grand ouvert contenu dans B, alors nous sommes d'accord que l'intérieur de ]5,7] est
]5,7[.

Posté par
akg
re : Intérieur d'un ensemble. 17-03-11 à 09:33

Pour moi le fait de poser :

= min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,/2) est incluse dans ]5,7[, c'était suffisant pour vérifier mon hypothèse initiale sur l'intérieur, de part la définition de la boule. Je vois pas ce que je pourrais rajouter.

En tout cas merci pour vos réponses.

Posté par
Narhm
re : Intérieur d'un ensemble. 17-03-11 à 13:52

>

Citation :
Pour moi le fait de poser :

= min (5-x,7-x), Alors la boule B(x,/2) est incluse dans ]5,7[, c'était suffisant pour vérifier mon hypothèse initiale sur l'intérieur, de part la définition de la boule.

Pour tout 3$ \rm x\in ]5,7[ , avec ta définition 3$ \rm \varepsilon = \min(5-x,7-x)=5-x<0 ! Donc la boule de centre x et de rayon /2 ne donne rien, elle est vide ! Ce n'est pas un voisinage de x.

Cela dit, si tu poses 3$ \rm \varepsilon = \min(x-5,7-x) c'est bon. La boule de centre x et de rayon /2 est bien dans ]5,7[.
Mais ceci montre uniquement que ]5,7[ est un ouvert inclus dans ]5,7] et non que c'est l'intérieur de ]5,7].
Je suis désolé si je pinaille un peu mais avec ta définition de l'intérieur, ton raisonnement n'est pas complet et comme dans ton premier post ce n'était pas clair, je préfère insister un peu.

Citation :
Je vois pas ce que je pourrais rajouter.

J'ai pas l'impression que tu lises avec grande attention mes messages. Ce que tu as à faire est explicitement dit !

Je viens de montrer que ]5,7[ est un ouvert dans ]5,7], ainsi si on souhaite s'assurer que c'est son intérieur, il reste une dernière chose à montrer : 7 n'est pas un point intérieur ! Ok ?

Posté par
akg
re : Intérieur d'un ensemble. 18-03-11 à 13:35

Désolé pour mon manque de rigueur. Je te cache pas que jusqu'à maintenant les mathématiques consistant à " montrer que " sont encore assez abstraites pour moi, j'ai parfois tendance à aller à droite à gauche sans réellement organiser ma pensée.

Donc pour prouver que 7 n'est pas intérieur, je pourrais montrer que l'intérieur trouvé précédemment est le plus grand des ouverts. Autrement dit il n'existe pas d'ouvert plus grand inclus.
On considère donc le point x=7, tel que B(7,) = :]5+;7[, Alors 7 n'est pas intérieur.

Posté par
Narhm
re : Intérieur d'un ensemble. 18-03-11 à 13:54

Citation :
On considère donc le point x=7, tel que B(7,) = :]5+;7[, Alors 7 n'est pas intérieur.

Je suis désolé mais ca veut rien dire tout ca !
En plus, ta boule ouverte n'en est pas une...

Finalement, montrer que ]5,7[ est le plus grand ouvert inclus dans ]5,7] revient à montrer que 7 n'est pas un point intérieur, soit comme je te l'ai déjà explicitement écrit, cela revient à montrer (par définition) que :
Pour tout 3$ \varepsilon>0, 3$ \rm B(7,\varepsilon):=\{x\in \mathbb{R}, |x-7|<\varepsilon\}=]7-\varepsilon,7+\varepsilon[ n'est pas inclus dans ]5,7] !
Ça ne devrait pas être trop compliqué non ?

Posté par
akg
re : Intérieur d'un ensemble. 18-03-11 à 15:26

Bah justement, après ce que tu as dit je ne vois pas ce qu'il faut ajouter, car tu reprends la définition même, et dans mon esprit tout a été montré, j'ai beau lire attentivement ce que tu as écrit, mais une fois qu'on a énoncé l'intervalle ]7-,7+[, on a terminé.

Posté par
Narhm
re : Intérieur d'un ensemble. 18-03-11 à 15:57

Ok !
Dans ce cas, je me permets de récapituler ce qu'on a fait pour montrer que l'intérieur de ]5,7] est ]5,7[ :

¤ Tout d'abord on a montré que tout point de ]5,7[ était un point intérieur à ]5,7].
En effet, pour tout x dans ]5,7[, 3$ \rm B(x , \fr{1}{2}\min(x-5,7-x)) est toujours inclus dans l'ensemble ]5,7].

¤ On a montré que 7 n'était pas un point intérieur :
En effet, pour tout e>0, la boule B(7,e)=]7-e,7+e[ n'est jamais inclus dans ]5,7] : 7+e>7 !

Donc l'ensemble des points intérieurs à ]5,7], c'est à dire l'intérieur de ]5,7], est ]5,7[.

Je te laisse faire de même pour ton deuxième exercice. C'est presque le même raisonnement.

Posté par
akg
re : Intérieur d'un ensemble. 18-03-11 à 16:40

Merci beaucoup pour ta patience, je pense que toutes tes indications me seront très utiles. Il me reste encore du boulot, je vais approfondir tout ça.

Encore merci



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