Déjà j'ai du mal à montrer que l'interieur est un ouvert.

Soit a appartient à int(A).
donc A est un voisinage de a, çad contient une boule de centre a. Cette boule est incluse dans A et non pas int(A).
Or, soit a appartient à int(A). pour que ce dernier soit ouvert il faut que l'on puisse construire une boule de centre a et qu'elle soit incluse dans int(A) et non pas A donc la définition de int ne sert pas à grand chose..
Merci de m'éclaircir SVP.

salut
la première partie de ta démonstration est juste , donc :
Soit a appartient à int(A).
donc A est un voisinage de a, çad contient une boule de centre a.
la propriété à utiliser est la suivante :
soit E et F deux ensemble , si E est inclus dans F , alors int(E) est inclus dans int(F).

notons H la boule ouverte de centre a , on a H est inclus dans A , et donc int(H) est incles dans int(A) ,
or , int(H)=H , car H est un ouvert puisque c'est une boule ouverte ,
d'ou le résultat voulu .

Merci.
J'ai trouvé une autre manière de faire:
Considérons U la réunion des ouverts de A.
d'après les propriétés de bases, U est un ouvert et c'est le plus grand ouvert car contient tous les ouverts.
Montrons que U=int(A).
Soit x de U.
On a x U --> x A.
                              --> A est voisinage de x (Si A est fermé et x en est la frontière?!).
                              --> x int(A).
Inversement:
Soit x de int(A).
Donc A est voisinage de x.
Alors B(x,a) telle que B(x,a) A
Or, UA --> B(x,a) U
                        --> x U
                        --> int(A)U.
C/C: int(A)=U.
Est-ce que le passage où j'ai mis la remarque est possible, pourquoi?
Merci d'avance.

Eu non en fait, ce n'est pas parce que UA que l'on a BU. C'est parce que B est un ouvert de A et U contient tous les ouverts. Je me demande: la definition du voisinage implique l'existance d'une boule ouverte ou fermée, est-ce que l'on a droit de la prendre ouverte pour dire qu'elle est incluse dans U?

la démonstration est juste , et pour la remarque (Si A est fermé et x en est la frontière?!) , on pourra dire que x n'appartient pas à la frontière puisqu'il appartient a un ouvert de A d'après votre supposition.  

Oui, merci.