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Intérieur d'une droite

Posté par
Thomasdxb 15-06-22 à 12:30

Bonjour,

Je considère l'ensemble U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,y=\frac{1}{2}\}.

Je conçois parfaitement que l'intérieur de U est vide, tout simplement car U est une droite.

Je souhaite cependant le montrer de façon rigoureuse. Ainsi, je suppose qu'il existe (x_1,y_1)\in Int(U). Alors il existe r strictement positif tel que B((x_1,y_1),r)\subset U. Soit (x_2,y_2)\in B((x_1,y_1),r). Alors (x_2,y_2)\in U et en particulier, y_2=\frac{1}{2}. D'autre part, \|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)\|<r.

Je ne vois pas comment arriver à une contradiction.
Je vois bien que la seule possibilité serait de prendre r=0, cas qui exclut au final...

Pouvez-vous me guider ?

Posté par
ty59847re : Intérieur d'une droite 15-06-22 à 14:20

Autour du point (x0, 1/2), peut-on construire une boule de rayon r strictement positif, entièrement incluse dans U ?
Non, on aura toujours le point (x0,1/2+r) qui sera dans cette boule , mais pas dans U.
Même en choisissant r très petit.

Posté par
Thomasdxbre : Intérieur d'une droite 15-06-22 à 15:13

pffff mais bien sûr, merci ty !

Posté par AitOuglifre : Intérieur d'une droite 16-06-22 à 11:29

Plus généralement, un sous-espace vectoriel strict d'un espace vectoriel est d'intérieur vide.

Posté par
ty59847re : Intérieur d'une droite 16-06-22 à 12:38

Le sens des mots a peut-être changé depuis quelques années, mais si on veut généraliser le résultat de l'exercice, je remplacerais le mot 'vectoriel' par 'affine'.

Posté par AitOuglifre : Intérieur d'une droite 16-06-22 à 13:08

Hmm…ma phrase est suffisamment générale je pense. Tout sous espace affine peut être vu comme un sous-espace vectoriel en fixant un de ses points.


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