a.On voit bien que pour chaque i de {0,1,..,n} Li est le polynome de degré n ayant pour racines les aj (ji)et valant 1 en ai ce qui s'écrit en utilisant le symbole de croneker:
(i,j){0,1,..,n}² Li(aj)=ij
si tu n'arrives pas à le voir tu n'as qu'à écrire les Li en extention c'est à dire sans utiliser le symbole .
tu as par exemple L0(x)=(x-a1)(x-a2)..(x-an)
(a0-a1)(a0-a2)..(a0-an)
b.On sait que n[X] est un -espace vectoriel de dimension n+1 (sa base canonique étant (1,X,X²,..,X^n))
ainsi la famille (L0,..Ln) en serait une base si elle est libre (tu l'as dailleurs bien vu)
soit alors iLi une combinaison linéaire de L0,..,Ln et supposons que celle-ci soit nulle.Comme c'est un polynome on aurait:
x iLi(x)=0
en faisant: x=a0 il ne restera de ce que le terme 0 (puisque a0 est racine de L1,L2,..,Ln et L0(a0)=1) d'où: 0=0
en faisant successivement x=a1 puis x=a2.. on trouve que tous les i sont nuls ce qui exprime que (L0,..,Ln) est libre et est donc bien une base de n[X].
c.Ce n'est en effet pas une question mais plutot un cadre pour les questions qui vont suivre.
d.Comme tu l'as vu la linéarité de ne pose pas de problèmes.D'autre part grace à l'égalité des dimensions des deux -espaces vectoriels n[X] et n+1 ,il suffit de montrer que est injective c'est à dire que son noyau est réduit au vecteur nul (ici au polynome nul)
Soit alors PKer()c'est à dire que (P)=0(le zéro ici est le vecteur nul de n+1 c'est à dire le n+1-uplet (0,..,0))
on a donc: P(a0)=P(a1)=..=P(an)=0 et on est en face d'un polynome de degré au plus n ayant n+1 racines 2à2 distinctes on conclut que: P=0
(c'est à dire le polynome nul)
est donc bien un isomorphisme.
e.Notons (e0,e1,..,en)la base canonique de n+1
c'est à dire: e0=(1,0,..,0);e1=(0,1,0,..,0)..en=(0,0,..,1)
il est alors facile de voir que:
i{0,..,n} (Li)=ei soit alors Pn[X] et désignons par (0,1,..,n)son systéme de coordonnées dans la base (L0,L1,..,Ln)
on a: (P)=(iLi)=i(Li)=iei=(0,1,..,n)=(P(a0),P(a1),..,P(an))
les valeurs des i ainsi detérminées on a bien:
Pn[X] P(X)=P(ai)Li(X)
finalement comme (Li)=ei pour tout i de {0,..,n} il vient que:i{0,..,n} -1(ei)=Li on en déduit par linéarité de -1:
(x0,x1,..,xn)n+1 -1(x0,x1,..,xn)=xiLi(X)
CQFD

Je peux te demander en quelle classe tu es si tu es encore au bahut?
En tout cas merci beaucoup en plus j'ai plutot bien compris je vais essayer de le refaire au calme.
Bonne journée

Qu'appelles tu x0,x1,...,xn dans la fin du problème? merci

L'application -1 a pour ensemble de départ l'espace n+1 et pour ensemble d'arrivée l'espace n[X],elle transforme donc un n+1-uplet en un polynome:l'ecriture (x1,x2,..,xn) est simplement une notation pour désigner un n+1-uplet.
tu peux utiliser une autre notation en écrivant par exemple:
-1:n+1n[X]
(t1,t2,..,tn)tiLi(X)

je suis professeur agrégé de mathématiques.

en fait por la derniere question tu établis que la base canonique de R^n+1 est envoyée sur la base (L0,...,Ln).
-1: R^n+1     Rn[X]
                 (x0,..,xn) P
Comme P=P(ai)Li(X)
-1: R^n+1     Rn[X]
                 (x0,..,xn)P(ai)Li(X)

En fait je comprends pas la fin lol^^

Soit (x1,x2,..,xn) un élément quelconque de ^n+1
on peut aussi écrire:
(x1,x2,..,xn)= xi.ei (le point ici symbolise la multiplication externe dans le -espace vectoriel ^n+1)
i=0..n
(c'est la décomposition canonique dans ^n+1)
d'où par linéarité de -1 tu as:
-1( (x1,x2,..,xn) )= xi.-1(ei)= xi.Li
Dans le contexte de l'exercice ,les deux notations Li ou Li(X) ont absolument la meme signification mathématique tout comme P et P(X).