Une heuristique qui marche pas mal dans ce genre de problème est de raisonner en terme de dimension.
La dimension des fonctions dérivables sur R est infinie non dénombrable (prendre par exemple (x ->exp(tx), t réel) qui est clairment libre) du coup y a fort a parier que T:f->(f(a), f(b), f'(a), f'(b)) (je change un peu les notations) soit surjective vu que l'espace d'arrivée est de dimension 4. Dans tous les cas cela t'assure que la dimension de noyau est infinie non dénombrable donc si tu trouves une solution tu en as une infinité non dénombrable.
Une idée par trop bète consiste a regarder ce qu'il se passe sur les polynomes de degré au plus 3 vu que c'est un espace de dimension 4.
Evidement il est interessant de prendre une base adapté à la situation.
Comme (X-b), (X-a), (X-a)^2(X-b), (X-b)^2(X-a).
Pourquoi cette base, parce que l'application T se calcule facilement dans cette base (j'ecris les vecteur en ligne) en effet on T(X-b)=((a-b), 0, 1, 1) T(X-a)=(0, b-a, 1, 1 )
T((X-a)^2(X-b))=(0,0,0, (b-a)^2) et T((X-a)(X-b)^2)=(0,0, (b-a)^2, 0).
On voit facilement que l'image de T est donc de rang 4 (ce qui prouve au passage que la famille qu'on avait considéré est bien une base de l'espace des polynome de degré au plus 3). Et donc que T est surjective. Donc tu sais qu'il existe des polynome de degré 3 qui répondent à la question et qu'ils sont uniques.
Pour les trouver tu n'a qu'a résoudre un système (ou etre un peu malin).