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Interpolation de Lagrange, erreur maximale

Posté par
Ennydra 08-04-17 à 16:12

Bonjour !

J'ai un long exercice à faire.

1) Soit f(x)=x^3. Calculer p le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points {-1,0,1}. Comment expliquez-vous ce résultat ?

2) On se place sur [-1,1].  Soit E(x) = f(x)-p(x) l'erreur d'interpolation. Calculer ||E||_{\infty} = \max_{x \in [-1,1]} |E(x)|.

3) On rappelle que le polynôme de Chebyshev de degré n, noté T_n, vérifie :

T_n(cos x) = cos(nx)

Expliciter le polynôme de Chebychev de degré 3 et calculer ses racines.

4) Calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de f pour les 3 points de Chebychev déterminés à la question précédente.

5) Reprendre le raisonnement de la question 2) pour calculer l'erreur maximale commise sur [-1,1] lorsqu'on interpole f aux points de Chebychev.

6) On considère maintenant une fonction linéaire L(x)=ax. Déterminer la meilleure valeur de a pour minimiser l'erreur \max_{x \in [-1,1]} |f(x)-ax|.

Par symétrie on pourra se restreindre à l'intervalle [0,1]. On étudiera ensuite soigneusement les différents cas possibles. En particulier on déterminera suivant les valeurs de a si l'erreur maximale est atteinte en ]0,1[ ou bien à l'une des bornes de l'intervalle. Qu'en concluez-vous ?

7) Soit g(x)=(x+1)^3. Calculer q le polynôme d'interpolation de Lagrange de g pour les points {-1,0,1} et l'erreur maximale commise \max_{x \in [-1,1]} |g(x)-q(x)|.

______

Voilà maintenant ce que j'ai fait :

1) f(x)=x^3.
Aux points {-1,0,1} : (-1,-1), (0,0), (1,1).
L_0(x) = \dfrac{x-0}{-1-0} * \dfrac{x-1}{-1-1} = \dfrac{x(x-1)}{2} \\ L_1(x) = \dfrac{x+1}{0+1} * \dfrac{x-1}{0-1} = - (x+1)(x-1) \\ L_2(x) = \dfrac{(x+1)x}{2}

Et donc p(x) = -1 * L_0(x) + 0 * L_1(x) + 1 * L_2(x) = -\dfrac{x(x-1)}{2} + \dfrac{(x+1)x}{2} = x

2) E(x) = f(x) - p(x) = x^3 -x
E'(x) = 3x^2 - 1
E'(x) = 0 x_1 = \dfrac{\sqrt{12}}{6} et x_2 = -\dfrac{\sqrt{12}}{6}

|E(\dfrac{\sqrt{12}}{6})| = |-\dfrac{2}{3^{3/2}}| = \max |E(x)|

3) T_3 (\cos(x)) = cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) (avec la formule de Moivre et du binôme, je passe les détails).

En notant y=cos(x), je trouve \cos(3x) = x(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2})(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2})

Je recherche les racines :
J'ai trouvé + /2
+ 5/6
+ /6

Déjà jusqu'ici, j'aimerais savoir si mes résultats sont justes...

Pour répondre à la question 4), je voudrais connaître les bonnes racines !
Si quelqu'un peut m'aider à ce problème, je lui en serais très reconnaissante !

Bonne journée

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 17:40

Bonjour.

Pour la question 1)
ton résultat est juste, mais je trouve que tu fait des calculs compliqués pour montrer que les points (-1;-1), (0;0) et (1;1) sont sur la droite y=x.

Pour la question 2)
le calcul de x1 et x2 est bon, quoique la forme donnée me semble inutilement compliquée, même chose pour E.
Il faut sans doute ajouter une remarque pour dire que E(x1)=E(x2).

Pour la question 3)
T_3(X)=4X^3-3X= X\left(X-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
Tu fis une confusion entre x et y.
Et les racines de T3 sont évidentes dans ton écriture factorisée.

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 17:42

Ps :
J'ai recopié ton erreur

T_3(X)=4X^3-3X= 4X\left(X-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

Posté par
Ennydrare : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 18:05

mais je trouve que tu fait des calculs compliqués pour montrer que les points (-1;-1), (0;0) et (1;1) sont sur la droite y=x
---
En effet Je tenais absolument à passer par la "formule", mais là ça donne un effet très robotique...

Pour la 3) tu as raison, j'ai confondu y et x, je me mélange un peu

J'aurais dû écrire : 4y^3 - 3y = y(y-\sqrt{3}/2)(y+\sqrt{3}/2)
Avec les 3 racines 0, 3/2 et -3/2...

Et donc y = cos(x) = 0, x = /2
Quand y = cos(x) = 3/2, x = 5/6
Quand y = cos(x) = -3/2, x = /6
(le tout à k près, k )

Ce sont bien les trois racines recherchées ?

Posté par
Ennydrare : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 18:10

Mince, j'ai à nouveau confondu :

Lorsque y = \cos(x) = \sqrt{3}/2, x = \pi/6
Lorsque y = \cos(x) = -\sqrt{3}/2, x = 5\pi/6

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 18:48

On cherche les racines en y.
Tn est un polynôme (à coefficient dans Z), ses racines sont les réels u vérifiant Tn(u)=0. Elles  sont donc en toujours algébriques, ce qui n'est pas le cas de /2.
Ici les racines de T3 sont 0 , 3/2 et  -3/2.

On ne cherche pas à résoudre cos(x)= . . .
mais 4y3-3y=0.
Et tu as déjà donné les racines de ce polynôme.

Posté par
Ennydrare : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 19:48

Aah d'accord, merci !
Donc pour la question 4) on cherche le polynôme de Lagrange aux points (0,0), (\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}^3}{8}), (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}^3}{8}) ?

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 19:51

OUI.

Posté par
Ennydrare : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 08-04-17 à 21:04

J'ai donc trouvé le polynôme de Lagrange p(x) = \dfrac{3x}{4} !

Pour la 5), E(x) = x^3 - \dfrac{3x}{4}
E'(x) = 3x^2 - \dfrac{3}{4} = (x-\dfrac{1}{2})(x+\dfrac{1}{2})

Donc max |E(x)| = |E(1/2)| = 1/4 sur [-1,1] !

Pour la 6) :
L(x) = ax \\ E(x) = x^3 - ax \\ E'(x) = 3x^2 - a = (x-\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}}) (x+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}})

\max |E(x)| = |\dfrac{2\sqrt{a}^3}{\sqrt{3}^3}| mais je ne vois pas qu'est ce que je pourrais ajouter sur a pour répondre à la question ?

Je suis passée à la 7), j'ai trouvé :

g(x) = (x+1)^3 aux points (-1,0), (0,1), (1,8)

L_0(x) = \dfrac{x(x-1)}{2} \\ L_1(x) = -(x+1)(x-1) \\ L_2(x) = \dfrac{x(x+1)}{2} \\ q(x) = (x+1)(3x+1)

Donc E(x) = (x+1)^3 - (x+1)(3x+1) =x^3-x et on retrouve un résultat similaire à la question 2)

C'est juste ? C'est la question 6) qui me bloque si je n'ai pas fait d'erreurs ailleurs... J'aurais tendance à dire que a>0 mais ce n'est pas suffisant...

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 09-04-17 à 16:53

Avec un peu de retard :
le résultat que tu donnes pour la question 6) est manifestement faux, tu peux regarder le cas a=0 pour t'en convaincre.

Posté par
Ennydrare : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 09-04-17 à 18:42

Effectivement pour a = 0 ou a < 0, mon résultat n'a pas de sens...
Mais du coup, comment s'y prendre ?

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 09-04-17 à 20:28

Il faut utiliser les indications de l'énoncé :

Citation :
Par symétrie on pourra se restreindre à l'intervalle [0,1]. On étudiera ensuite soigneusement les différents cas possibles. En particulier on déterminera suivant les valeurs de a si l'erreur maximale est atteinte en ]0,1[ ou bien à l'une des bornes de l'intervalle. Qu'en concluez-vous ?


On a
\lVert E\rVert_\infty=\max\left(\frac{2\sqrt{a}^3}{\sqrt{3}^3}\ ;\ 1-a\right)

Posté par
Ennydrare : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 09-04-17 à 21:00

Super! Merci beaucoup pour ton aide verdurin!

Posté par
verdurinre : Interpolation de Lagrange, erreur maximale 09-04-17 à 21:15

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