Le but n'est pas de trouver "des solutions" car il n'y a pas d'équation mais bien de simplifier l'expression de départ.

y = (1/2).V(1+2x²+2xV(1+x²)) + (1/2).V(1+2x²-2xV(1+x²))

En posant x = sh(Phi), tu trouves: y = ch(phi)

On a donc phi = arcsh(x) -> y = ch(arcsh(x))

Or ch²(Phi) - sh²(Phi) = 1
ch²(Phi) = 1 + sh²(Phi)
ch(Phi) = +/- V(1+sh²(Phi))
Mais un cosinus hyperbolique est toujours > 0 ->
ch(Phi) = V(1+sh²(Phi))

ch(Phi) = V(1+x²)
Phi = arcch(V(1+x²))

Et donc y = ch(arcch(V(1+x²))
y = V(1+x²)

Et c'est fini, l'expression de départ:
y = (1/2).V(1+2x²+2xV(1+x²)) + (1/2).V(1+2x²-2xV(1+x²))
se simplifie en:
y = V(1+x²)
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Sauf distraction.  

Bonjour,
Effectivement, je trouve bien y = V(1+x²).

Par contre, on a :
ch²(phi)+sh²(phi)-2ch(phi)sh(phi)=(sh(phi)-ch(phi))²=(ch(phi)-sh(phi))²

Donc, en fonction de la façon dont on a écrit, on trouve y=ch(phi)=V(1+x²) ou y=sh(phi)=x

On ne cherche effectivement pas à résoudre, mais on peut arriver à 2 simplifications complètement différentes.

J'en déduis que chaque simplification n'est pas une représentation complète de l'expression de départ.

Si par exemple on pose x=2, V1+2²= 2,236.. ou -2,236... donc pour x=2, y peut bien prendre 4 valeurs.

C'est peut-être très bête et je complique probablement, mais quelque chose m'échappe.

Merci pour cette (première?) réponse.

Si tu calcules en remplaçant x par 2 dans
(1/2)V(1+2x²+2xV(1+x²))+(1/2)V(1+2x²-2xV(1+x²))

Tu trouves bien une et une seule valeur, pas 4 différentes.

Il est clair que pour une valeur de x quelconque, il y a une et une seule valeur de (1/2)V(1+2x²+2xV(1+x²))+(1/2)V(1+2x²-2xV(1+x²)) qui y correspond.

... Et le calcul a montré que cette valeur est identique à celle calculée par V(1+x²).

Si tu trouves autre chose par une autre méthode, et que cela donne des valeurs différentes par le calcul pour un x donné (quel qu'il soit), alors ... c'est que tu as fait une erreur dans ton développement.

Je suis d'accord ...... mais bon!

Si je fais le calcul avec Excel ou un programme quelconque, OK, on trouve une seule valeur.

N'empêche que :

Si x=V4, alors x=2 ou x=-2, puisque 2²=-2²=4 ??

Pourquoi dans cet exo on ne raisonnerait qu'avec les valeurs absolues ?

Tout petit déjà, j'étais un peu pénible ...

Merci

Pas du tout, V4 = 2 et pas -2

Ne pas confondre x² = 4 qui donne 2 possibilités x = -2 et x = 2.

Alors que V4 vaut 2. (et jamais -2)
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Remarque que si tu fais le calcul avec x = -2 tu trouves y = V5 et si tu fais le calculs avec x = 2, tu trouve aussi y = 5.

Donc tu trouves la même valeur de y pour 2 valeurs différentes de x, OK mais tu ne trouveras JAMAIS 2 valeurs différentes de y pour une même valeur de x.
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Il me semble qu'il y a de la confusion dans ton esprit.

  
Si tu veux te convaincre que
y = (1/2).V(1+2x²+2xV(1+x²))+(1/2).V(1+2x²-2xV(1+x²))
est bien strictement équivalent à
y = V(1+x²)

Traces ces 2 courbes sur une calculette graphique et cela sera évident, les 2 courbes coïncideront en tous points.

Sauf distraction.  

Il doit y avoir confusion, 20 ans sans faire de maths, ça laisse des traces !

Sinon, bien sur, je sais que les courbes coincident, parce que c'est ce que j'avais trouvé et vérifier en traçant.

C'est donc bien mon interpretation des racines qui peche ! J'vais reprendre les bases.

Merci, à bientôt!