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Intersection, coplanarité, décomposition d'un vecteur

Posté par
AsunaLina
06-11-22 à 14:07

Bonjour, je rencontre des difficultés dans un exercice, pourriez-vous m'aider svp ? Merci d'avance
(je savais pas comment mettre le symbole d'un vecteur, donc au lieu de la flèche au dessus, j'ai précisé vecteur à chaque fois)

Dans l'espace rapporté à un repère (0; vecteur i, vecteur j, vecteur  k), on donne les
points A(0 ; -1;5), B(2 ;-1;5), C(11 ; 0; 1) et D(11 ;4;4).
1. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes du repère.
Lequel?
J'ai répondu que la droite (AB) est parallèle à l'axe vecteur i du repère (car coordonnées du vecteur AB vaut (2;0;0)

Et c'est à partir de là que je pense avoir tout faux car moi même, je savais pas comment faire même si j'ai essayé

2. Soit P le plan passant par C et de base (vecteur j, vecteur k).
Montrer que la droite (CD) est incluse dans le plan P.
J'ai répondu que comme on sait que le plan P passe par le point C, donc le point C de la droite (CD) est incluse dans le plan. De plus, le point D fait est également inclus car ses coordonnées sont D(11;4;4), donc droite (CD) incluse dans le plan P.

3. Justifier que la droite (AB) et le plan P sont sécants.
J'ai répondu: On sait que les points A et B sont inclus dans le plan P à cause de leurs coordonnées. Or (AB) est parallèle à l'axe repère du vecteur i. Donc droite (AB) et plan P sécants.

4.a. Soit E(11 ;-1;5).
Déterminer deux réels a et b tels que vecteur CE = a vecteur j + b vecteur k.
J'ai répondu:Vecteur CE (0;-1;4) et vecteur k (0;0;1) et vecteur j (0;1;0).
Donc on résout le système 0 = Oa + Ob
                                                            -1 = 1a + 0b           donc a=-1 et b=4
                                                                4 = 0a + 1b
D'où vecteur CE = - vecteur j + 4 vecteur k


b. Vérifier que E est le point d'intersection entre (AB) et le plan P.
Alors ici, je sais pas u tout

5. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
Et ici non plus

Posté par
Kakuzo
re : Intersection, coplanarité, décomposition d'un vecteur 29-12-22 à 00:13

Salut, c'est un style d'exercice assez classique.

Question 2.
Calcule le vecteur \overrightarrow{CD} et montre qu'il peut s'écrire comme a\overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k}
Ca montrera que le vecteur directeur est inclus dans le plan, donc la droite aussi.

Question 3.
Je n'ai plus assez de souvenirs de mes années de lycée.
Cependant, si tu regardes le vecteur \overrightarrow{AB}. C'est un vecteur directeur de la droite.

Tu fais le produit scalaire de ce vecteur avec le premier vecteur du plan puis le deuxième.
Si au moins un des deux n'est pas nul, la droite et le plan sont sécants.

Question 4a.
Je te fais confiance, j'espère que c'est bien ça.

Question 4b.
Tu sais que \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de la droite (AB), à partir de la tu peux en déduire l'équation paramétrique de la droite (AB).

De plus tu sais que E appartient au plan car tu viens de montrer que \overrightarrow{CE} s'écrit en fonction des deux vecteurs du plan.

Il reste donc juste à vérifier que le point E est sur la droite (AB) grace à ses coordonnées et à l'équation paramétrique de (AB).

Question 5.
Vérifie que (AB) est incluse ou non dans le plan, si (AB) n'est pas incluse dans le plan, alors elle coupe le plan en un seul point qui est E.

Il reste juste à voir si E est sur (CD), en effet, si E est sur (CD), puisque (AB) passe par E, alors les deux droites sont sécantes.
Sinon, puisque (CD) est dans le plan et que (AB) coupe uniquement le plan en E, si E n'est pas sur (CD), les deux droites ne sont pas sécantes.

Kakuzo.



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