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Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnues=

Posté par
Anonyme323
02-11-21 à 17:46

Bonjour je suis désolé de vous importuner mais je ne trouve actuellement aucune solution à mon problème :

P est le plan qui passe par le point A(-2; 3;0)
et de vecteurs directeurs ū(2;0;-2) et v(1;-3;0).
dest la droite qui passe par le point B(5;0;-2) et de
vecteur directeur w-2;-1;1).

1.a) Démontrer que la droite d et le plan P sont sécants.
b) Justifier que déterminer les coordonnées du point
dintersection K de la droite d et du plan P revient à
résoudre le système:

2a+b+ 2c = 7
-3b+c=-3.
-2a-c = -2

Je ne parviens pas à trouver de méthode pour obtenir le système de la question b pourriez vous m'indiquer une méthode pour parvenir à la solution ? J'avais envisagé d'utiliser l'équation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan mais je n'arrive pas à retrouver un système comme demandé et je ne connais pas d'autre méthode ! Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 18:18

salut

et pourtant ta méthode est bonne :

équation cartésienne d'un plan en commençant par une équation paramétrique puisqu'on te donne un point et deux vecteurs directeurs

et équation paramétrique de la droite

montre-nous ...

Posté par
alb12
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 18:22

salut,
l'equation cartesienne est inutile

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 19:11

Bonsoir,
Je confirme que pour "tomber" sur le système de l'énoncé il vaut mieux exploiter les systèmes d'équations paramétriques que l'on obtient à partir des données, pour le plan et pour la droite.
@Anonyme323,
Commence par nous dire ce que tu trouves comme systèmes d'équations paramétriques pour le plan, puis pour la droite.

Posté par
Anonyme323
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 20:44

Tout d'abord merci de vos réponses ! Pour ma droit j'ai trouvé l'équation paramétrique
x=5-2t
y=-t
z=-2+t
Et pour mon plan je trouve l'équation cartésienne :
-6x - 2y - 6z - 6=0
Mais je ne sais pas comment retomber sur le système de l'exercice à partir de ces infos

Posté par
Anonyme323
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 21:09

Pour ma droite je trouve l'équation paramétrique

x=5-2t
y=-t
z=-2+t

Et pour mon plan je trouve l'équation paramétrique :

x+2=2t+t'
y-3=-3t'
z=-2t
Et l'équation cartésienne :

-6x - 2y - 6z - 6=0

Mais je ne sais pas comment retomber sur le système de l'exercice à partir de ces infos

Posté par
alb12
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 21:17

l'equation du plan n'est pas utile ici
prendre a,b,c comme parametres
x=5-2c et x+2=2a+b donne 5-2c=2a+b-2 soit 2a+b+2c=7
suis-je assez clair

Posté par
Anonyme323
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 21:47

Merci beaucoup je comprends mieux mais comment puis-je justifier de remplacer t et t' par a, b et c ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 22:26

Pour les paramètres, tu peux choisir les lettres que tu veux.
Sauf x, y et z
Les solutions du système
2a+b+ 2c = 7
-3b+c=-3.
-2a-c = -2
sont les mêmes que pour
2m+n+ 2p = 7
-3n+p=-3.
-2m-p = -2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 02-11-21 à 22:27

Et si tu as choisi t comme paramètre pour la droite, il faut choisir d'autres lettres que t pour le plan, par exemple r et s.

Posté par
malou Webmaster
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 03-11-21 à 08:43

Bonjour à tous,
une simple remarque sur cet exercice...je trouve personnellement assez stupide d'imposer le système par lequel on doit passer pour résoudre la question...on peut écrire tellement de choses différentes pour résoudre ce type d'exercice.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 03-11-21 à 08:47

Bonjour malou,
Je suis d'accord !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 03-11-21 à 08:49

Il faudrait remplacer "revient à résoudre le système" par "peut s'obtenir à partir du système".

Posté par
carpediem
re : Intersection d'une droite et d'un plan (système à 3 inconnu 03-11-21 à 09:00

tout à fait d'accord aussi ...

malheureusement c'est aussi le cas de tous les exercices conséquents charcutés en wouatmille questions qui ne laissent plus de place à l'autonomie, à la prise d'initiative et à la diversité donc la richesse des résolutions ...

ce qui reflète à nouveau le triste état de notre EN ...



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