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intersection de compact
Bonjour Bonjour
j'aimerais un éclairage sur une notion je vous prie
pourquoi dit on que si une intersection non denombrable de compact est vide alors on peut extraire de cette intersections une intersection fini de ces compact qui est vide!
merci d'avance
merci mokassin
pourrais je avoir un lien ou une direction vers l'obtention de cette définition?
cette définition fait elle pas office de proposition également? juste pour savoir si on peut là démontrer. .... si oui quel est l'Esprit de cette démonstrations?
merci encore d'avance
Salut,
si je suis pas trop fatigué, tu peux raisonner sur le fait que tes compacts sont fermés, regarde dans quoi est contenu un nombre fini de ces fermés (ce qui fait que l'intersection est un compact), et il faut se rappeler de la définition de compact avec des ouverts et la remanier avec des fermés.
Salut 
On sait que dans un espace compact (X,T), on a la définition suivante :
- de toute famille quelconque d'ouverts qui recouvre X, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Définition équivalente :
- de toute famille quelconque de fermés d'intersection vide, on peut extraire une sous-famille finie d'intersection vide.
On souhaite donc utiliser ces définitions. Mais le soucis, c'est que la famille de compacts dont il est question n'est pas forcément une famille de compacts d'un espace compact.
Par conséquent, il va falloir choisir, en début de démonstration, un compact fixe dans lequel on va travailler et qui nous servira d'espace compact où l'on pourra utiliser les définitions.
Donc voici un possibilité de rédaction :
Soit (X,T) un espace topologique séparé et une famille de parties compactes de X.
Soit un compact quelconque.
Si K ne rencontre aucun des autres compacts alors la démonstration est finie, sinon on continue.
On munit K de la topologie induite par T, ce qui en fait un espace compact.
Posons pour tout
. Tous les
sont des compacts de K (et de X).
Par hypothèse, l'intersection des est vide et comme K est compact, il existe une partie J finie incluse dans I tel que
.
On revient dans X et il est alors clair que .
Salut
On sait que dans un espace compact (X,T), on a la définition suivante :
- de toute famille quelconque d'ouverts qui recouvre X, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Définition équivalente :
- de toute famille quelconque de fermés d'intersection vide, on peut extraire une sous-famille finie d'intersection vide.
On souhaite donc utiliser ces définitions. Mais le soucis, c'est que la famille de compacts dont il est question n'est pas forcément une famille de compacts d'un espace compact.
Par conséquent, il va falloir choisir, en début de démonstration, un compact fixe dans lequel on va travailler et qui nous servira d'espace compact où l'on pourra utiliser les définitions.
Donc voici un possibilité de rédaction :
Soit (X,T) un espace topologique séparé et
Soit
Si K ne rencontre aucun des autres compacts alors la démonstration est finie, sinon on continue.
On munit K de la topologie induite par T, ce qui en fait un espace compact.
Posons
Par hypothèse, l'intersection des
On revient dans X et il est alors clair que
merci très intéressant.....
ces deux définitions énoncé plus haut comment peut t'on établir leur équivalence?
en supposant qu'on ait la premier définition applique a un ensemble E peut on retrouver la deuxième?
j'ai essayé en me donnant une famille Ai avec i dans I quelconque tel que
Ai
couvre E cela entraîne par hypothèse l' existe d'une famille fini de Ai recouvrant E
en passant au complémentaire sur les deux partie de l'implication cela nous donne t'il quelque chose?
Salut,
si je suis pas trop fatigué, tu peux raisonner sur le fait que tes compacts sont fermés, regarde dans quoi est contenu un nombre fini de ces fermés (ce qui fait que l'intersection est un compact), et il faut se rappeler de la définition de compact avec des ouverts et la remanier avec des fermés.
merci je pense que c'est exactement ce qu'à mis sur écrit. jsvdb
Simplement, les définitions sont duales sur les complémentaires :
On extrait alors un J fini dans I et on a :
Simplement, les définitions sont duales sur les complémentaires :
On extrait alors un J fini dans I et on a :
dans la définition la réunion est sencé recouvrir E mais pas lui être égale forcément. .... c'est un peu la ma difficulté
E étant l'espace complet, difficile de le recouvrir sans lui être égal.
ah oui exactement
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