Bonjour
la topologie n'est pas ma tasse de thé, mais je ne comprends pas pourquoi, alors qu'on te demande de montrer seulement que cette intersection est dense, tu te focalises sur son ouverture, qui n'est pas demandée, sans te poser la question de sa densité, qui est demandée ?

Bonsoir lafol,

je me pose la question de l'ouverture car je souhaite utiliser la proposition suivante :

AP(X) est dense O O_X non vide on a AO

Et du coup il me faut que l'intersection quelconque d'ouverts soit ouverte.
En effet, en reprenant la famille des U_i où chaque U_i est dense, on a que tout ouvert de X non vide rencontre chaque U_i.

Par ex si I={1,...,n} ça marche puisqu'on a la stabilité de l'intersection pour une famille finie mais si I quelconque je ne sais pas comment faire car l'intersection ne sera plus forcément ouverte ..

Je ne comprends toujours pas pourquoi tu veux que ton intersection soit ouverte ? Non vide, oui, mais ouverte ?

Bonjour,
soit U₁=Q et U₂=Q={q* |qQ}.
U₁ et U₂ sont denses dans R et U₁ U₂ ={0} qui n'est pas dense dans R.

Oups j'ai oublié la condition ouvert.

Un contre-exemple qui fonctionne : on se place dans R munie de la topologie usuelle.
On prend I=R et U_i=R\{i}.

Il est clair que l'intersection des U_i est vide.

Bonjour !
Ton inquiétude sur l'intersection ouverte est défunte !
Soit, pour , .
Chaque est un ouvert dense et leur intersection est .
Certes est dense mais et aucun voisinage de ne peut être inclus dans .

..................................................
On dit qu'un espace topologique vérifie la "propriété de Baire" si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense.
Tu peux le montrer lorsque tu as un espace métrique complet en utilisant le théorème des fermés emboîtés.
En particulier est un espace de Baire pour la topologie usuelle.
..................................................
Je pense, sans en avoir d'exemples sous le coude qu'il existe des espaces qui ne sont pas de Baire. Dans de tels espaces il existe donc au moins une famille dénombrable (à fortiori une famille infinie quelconque) d'ouverts denses dont l'intersection n'est pas  dense

Bonjour à tous,

déjà merci pour toutes vos réponses.

Lafol : En fait je veux utiliser la propriété que j'ai énoncé plus haut pour montrer que l'intersection de la famille est dense. Cela fait intervenir plusieurs intersections successives. Il me faut que chaque intersection soit ouverte pour pouvoir dire par la suite que l'intersection de cette intersection (qui est ouverte) avec un autre ouvert dense de la famille est non vide (par la densité de cette ouvert) et donc que cette intersection est dense et ainsi de suite ...

en fait je fais comme ça : soit O un ouvert non vide de X, comme U₁ ouvert dense de la famille considérée, OU₁ , puis comme cette intersection est ouverte (stabilité de l'intersection d'ouverts), on va l'a considéré comme le "O n°2" pour montrer la prochaine intersection est dense i.e : comme  OU₁ ouvert dense de X, comme U₂ est dense alors (OU₁)U₂ ainsi de suite. Et c'est là que je me demande si il me faut, lorsque j'ai une famille quelconque et non une famille finie, la stabilité par intersection quelconque d'ouverts ...

Verdurin : je ne comprends pas pourquoi est dense ? Est-ce une propriété qui dit que si un ensemble A est dense dans X alors tout ensemble du type Ax où x est un élément dans X (si on considère l'espace topologique (X, O_X)) est aussi dense dans X ? Après pour ton second contre-exemple je l'ai compris et c'est ce qu'il me fallait pour montrer que l'intersection quelconque d'ouverts dense n'est pas forcément dense.

Luzak : je comprends bien que K_n est dense et ouvert mais pour le K je n'arrive pas à le montrer que c'est dense, comment ferais tu ? Et en effet, K n'est pas ouvert car en 0 cela pose problème et K n'est pas voisinage de chacun de ses points donc il n'est pas ouvert. On a donc un exemple d'intersection non ouverte mais dense. Mais, en fait de manière général je ne sais pas si dans tous les cas on aura le résultat qui est : pour une famille quelconque d'ouverts denses, l'intersection est dense.

Je pense que, en général, pour une famille quelconque d'ouverts denses, l'intersection n'est pas dense.

est dense puisque tout intervalle ouvert de rencontre en un point au moins.
........................................................
Je t'ai donné un exemple pour intersection dénombrable d'ouverts denses non ouvert. Si tu en veux pour intersection infinie tu rajoutes à ma famille les ouverts .
Ton approche par récurrence ne me semble pas utilisable.
............................................
Je t'ai donné une indication : t'arranger pour utiliser le théorème des fermés emboîtés dans un espace complet...
........................................................

Tu avais aussi une question concernant .

Si est un ouvert de l'intervalle contient un rationnel et .

Mais je travaille sur un espace topologique quelconque (X,O_X) sur lequel je ne sais absolument rien, je ne sais pas si c'est un espace métrique complet ou non par exemple pour utiliser le théorème de Baire. et pouvoir affirmer que l'intersection d'une famille d'ouverts est ouverte. Donc ça marche pour une intersection dénombrable mais pas pour une intersection non dénombrable sur quel type d'espace topologique ? Ceux de Baire seulement ?  

Ah d'accord je comprends mieux pourquoi est dense maintenant ! Mais n'y a-t-il pas une propriété générale qui assure que si une partie A dense dans X alors pour tout m dans X, on a Am dense dans X ?

Bonjour Chco.
On peut aussi prendre le problème dans l'autre sens : si tu établis une démo rigoureuse du fait que l'intersection de deux ouverts denses est encore un ouvert dense, tu verras tout de suite où est le problème pour passer à des intersections de cardinaux infinis.

Bonsoir !
Mon refus de répondre à certaines questions ne m'empêche pas d'y réfléchir !

Si tu prends la topologie engendrée par les intervalles ouverts dans l'ensemble , ce n'est pas un espace de Baire.
Soit une bijection de sur et .
est un ouvert dense de et n'est pas un ensemble dense.

Donc tu ne peux pas, sans autre hypothèse, établir qu'une intersection dénombrable (à fortiori infinie non dénombrable) d'ouverts denses est un ensemble dense.
......................................
verdurin t'a déjà donné un exemple (dans qui est espace de Baire) d'une famille infinie non dénombrable d'ouverts denses dont l'intersection n'est pas un ensemble dense.
..................................
Si tu veux bien essayer de comprendre ces situations :
1. pour les familles dénombrables d'ouverts denses, il faut des hypothèses de plus (ce sont celles qui permettent de définir un espace de Baire)
2. pour les familles infinies non dénombrables, tout peut arriver : il n'y a donc pas d'espoir de faire une démonstration valable pour un espace topologique quelconque.

Oui, je m'emmêle les pinceaux. C'est vrai que dans le cas général, on ne définit pas un produit lorsqu'on définit un espace topologique. Du coup, ce n'est valable que dans . Mais je ne vois pas le lien entre l'ordre du produit et la topologie ? Pourrez-tu m'éclairer sur ce point ?

Et dans la deuxième citation, je voulais écrire "l'intersection d'ouverts denses est dense" et non ouvert comme j'ai écris, puisque c'est le résultat du théorème de Baire. Et je suis tout à fait d'accord que mon problème ne demande pas l'intersection quelconque d'ouverts dense est-elle encore ouverte (MAIS dense oui). Je pensais que si ce n'était pas possible, ce qui est le cas en général. Alors je pouvais montrer que l'affirmation qui est : "intersection d'une famille quelconque d'ouverts est dense"est fausse. Et dans ce cas je donne un contre-exemple, dans par exemple.

D'accord, ça commence à être un peu moins "flou" pour moi.

Pourrez-tu me citer les hypothèses permettant de définir un espace de Baire ?

Du coup, sur un espace de Baire même les intersections non dénombrables d'ouverts denses ne sont pas forcément denses (peut être que c'est possible que ça le soit ?). On ne peut rien dire sur ce type d'intersection. Après, pour un espace de Baire, tout se passe bien pour les intersections dénombrables d'ouverts denses qui sont denses aussi (donné par le théorème de Baire).

Juste pour savoir que les A_n sont dénombrables tu utilises le fait que est dénombrable et comme A_n   alors c'est dénombrable ?

Bonsoir,
il me semble que l'on se perd dans des complications légèrement hors sujet.

Soit X est un espace topologique,  I un ensemble quelconque et (U_i)_iI un ensemble d'ouverts denses dans X.

On ne peut pas en déduire que est dense dans X.

Bien sûr cette intersection peut être dense dans X, mais elle peut aussi ne pas l'être.
J'ai donné un exemple pour le second cas.

Bonsoir jvsdb,

j'ai fais cette démo : j'ai montré que pour deux ouverts denses alors leur intersection est ouverte dense. Mais c'est pour ça que j'ai parlé depuis le début que si j'ai une famille quelconque (dénombrable ou non) d'ouverts denses alors je ne peux pas avoir l'intersection ouverte car l'intersection ne sera pas finie. Mais ça ne doit pas être comme ça qu'il faut s'y prendre..

Bonsoir,

tout à fait Verdurin, en fait il y a plein de cas différents. Et on ne pourra jamais avoir l'intersection dense pour toute famille quelconque d'ouverts denses. Mais c'est intéressant de réfléchir aux différentes possibilités que l'on peut avoir.

Il y a des intersections non dénombrables d'ouverts qui sont ouvertes.
Il y a des intersections non dénombrables d'ouvert denses qui sont des parties denses.
C'est comme une réunion quelconque de fermés : elle peut tout à fait être fermée.
Quand on est en dehors des hypothèses d'un Théorème alors tout peut arriver

Oui, tu as tout à fait raison, c'est l'indice de l'intersection qui importe pour savoir si c'est une intersection dénombrable ou non.

Merci encore pour tous vos conseils et idées.

Bienvenue dans le petit (?) monde de la topologie mon garçon ...

Ahah merci bien il n'y a pas de quoi s'ennuyer

Non ma fille

Ahah oui, j'avais même pas vu que sur mon profil j'étais automatiquement un homme