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Intervalle de départ de la transformation de Mellin

Posté par
Nilav
17-10-20 à 20:31

Bonsoir à tous,

Je suis actuellement en train d'étudier la transformée de Mellin mais je suis rapidement confronté à un problème.
Je situe:
On a f: [0;+\infty[  \mapsto \mathbb{R} une fonction cpm.
On note: I(f) l'ensemble des \sigma réels tels que \int_0^{+\infty} |f(t)| t^{\sigma - 1} dt converge
On cherche à montrer que I(f) est un intervalle.
J'ai essayé plusieurs techniques: revenir à la définition d'un intervalle, construire une fonction continue sur intervalle telle que son image soit I(f) pour appliquer le TVI,...sans succès
J'essaie donc maintenant de montrer que I(f) est convexe (et donc un intervalle de R) mais je bloque encore une fois.

Auriez-vous des indications ?
Merci

Posté par
Zormuche
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 20:49

Salut

Tu peux prendre x et y deux éléments différents de I(f), puis un z quelconque tel que x<y<z et montrer que  z\in I(f)

Pour montrer que  z\in I(f) , tu peux regarder l'ensemble   \{t\ge 0,~ f(t)\le 1\}

Posté par
Zormuche
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 20:49

un z quelconque tel que  x<z<y  plutôt

Posté par
Nilav
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 20:54

C'était mon premier essai ! Non concluant néanmoins.
D'où vient ton ensemble ?

Posté par
Zormuche
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 21:16

Je me suis trompé en fait, c'est pas cet ensemble qu'il faut regarder

Donc tu as essayé mais tu n'arrives pas à montrer que z est dans I(f)? Tu peux séparer l'intégrale en deux intégrales sur des ensembles bien choisis

Posté par
Nilav
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 22:18

[0,1] et [1,inf] ?

Posté par
Zormuche
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 22:48

Oui
continue

Posté par
etniopal
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 22:55

  Pour a soit ua : [1 , +[ , x xa = exp(aln(x)) .
On a :  I(f) = 1 + J(f) où   J(f) := { a  │ |f|.ua < + }  
Le fait que J(f) soit un intervalle résulte de la convexité   de exp .

Posté par
etniopal
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 17-10-20 à 23:03

**  J(f) :=     ensemble des réels a tels que  l'intégrale de  f.ua   sur [1 , +[  soit finie .

Posté par
carpediem
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 18-10-20 à 10:08

c'est quoi une fonction cpm ?

Posté par
Nilav
re : Intervalle de départ de la transformation de Mellin 18-10-20 à 11:01

carpediem @ 18-10-2020 à 10:08

c'est quoi une fonction cpm ?

Continue par morceaux !

etniopal @ 17-10-2020 à 22:55

  Pour a soit ua : [1 , +[ , x xa = exp(aln(x)) .
On a :  I(f) = 1 + J(f) où   J(f) := { a  │ |f|.ua < + }  
Le fait que J(f) soit un intervalle résulte de la convexité   de exp .

Je n'ai pas compris ta notation 1 + J(f) :/

En tout cas merci à vous j'ai réussi, il fallait effectivement penser à découper l'intégrale en deux et ma première idée marchait.

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