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Intervalle de fluctuation

Posté par
ozpacker
15-10-19 à 12:39

Une boite contient des boules. Il y a trois couleurs différentes, blanches, noire et rouges. On ne connait pas le nombre de boule de chaque couleur. Les boules son indiscernables au toucher. On ne peut prendre qu'une boule à la fois, et avant d'en prendre une deuxième, on doit remettre la première dans l'urne. Afin de déterminer la proportion de boules de chaque couleur, on ne peut donc qu'effectuer des tirages successifs et avec remise d'une boule après l'autre. Les résultats seotn exprimé à 10^-2 près.

1) 1er tirage de 100 boules : ce qui donne 26 boules blanches, 40 boules noires, et 34 boules rouges

- On suppose que la proportion de boules blanches dans l'urne est de 1/3, déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de boules blanches sur un échantillon de taille 100.

- peut-on affirmer au seuil de 95% que les proportions de boules blanches, noires et rouges ne sont pas égales dans l'urne ?

2) Combien de tirage faudrait-il effectuer pour qu'en obtenant 25% de boules blanches, on puisse affirmer que la proportion de boules blanches dans l'urne n'est pas de 1/3 ?

3) on effectue un deuxième tirage de 400 boules, et on obtient 100 boules blanches, 132 noires, 164 rouges.

- Déterminer l'intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion de boules blanches dans l'urne  que l'on peut déduire de ce deuxième tirage.
Faire de même pour les boules noires et les boules rouges.

-peut-on affirmer au seuil de 95% qu'il y a plus de boules noires que de blanches ? de rouges que de noires ? de rouges que de blanches ?



Je vais commencer par poster mes réponses, et je vous remercie par avance de l'aide que vous allez m'apporter.

Posté par
flight
re : Intervalle de fluctuation 15-10-19 à 16:56

salut

1) I = [  p  - 1,96 *(p(1-p)/n) :  p  + 1,96 *(p(1-p)/n)]
avec p = 0,26 et n = 100   tu vois ensuite si les 1/3 se trouvent dans cet intervalle

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 15-10-19 à 17:09

Salut.
Pourquoi répondre alors que le demandeur indique qu'il va poster ses recherches ?
On demande un intervalle de fluctuation pas un intervalle de confiance

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 15:58

Bonjour,

voici ma première réponse à la question 1)

I100 = \left[ 0,33 - 1,96 \times (\frac{\sqrt{0,33(1-0,33)}}{\sqrt{100}} ; 0,33 + 1,96\times (\frac{\sqrt{0,33(1-0,33)}}{\sqrt{100}} \right]

I = \left[0,24 ; 0,42 \right]

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 16:00

Pour moi il faut prendre p=0,33 et non p=0,26 car l'énoncé nous dit clairement que p= 1/3
Mais je fais peux-être une erreur je débute dans ce genre d'exercice ...

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 16:06

tu as raison c'est flight qui a tort mais laisse 1/3 pour faire les calculs

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 16:24

j'ai refais les calculs avec 1/3 et j'ai les mêmes résultats ...

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 16:25

par contre pour la deuxième partie de question " peut-on affirmer au seuil de 95% que les proportions de boules blanches, noires et rouges ne sont pas égales dans l'urne ?"

je ne suis pas sur ... y a t-il un rapport avec la première réponse ?  

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 17:02

pour l'intervalle il faut agrandir un peu et donner[0.24;0.43]
pour la suite il faut regarder si les proportions observees sont ou non dans l'intervalle de fluctuation

Posté par
carpediem
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 17:31

ozpacker @ 16-10-2019 à 16:24

j'ai refais les calculs avec 1/3 et j'ai les mêmes résultats ...
bien sur que non ... puisque 1/3 est un décimal infini ...

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 18:18

excusez-moi mais j'ai une personne qui me dit que mon résultat est bon et une autre non ?
que dois-je retenir ?

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 18:28

"pour la suite il faut regarder si les proportions observees sont ou non dans l'intervalle de fluctuation"

donc je dois faire 26/100 = 0,26 donc bien dans l'intervalle

mais pour le reste ? je ne vais comparer les boules noires ou rouges avec le même intervalle étant donné que je l'ai calculé avec p=1/3 ?

je ne comprend pas tout

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 18:51

Je suis passé à la question 3 car je ne comprends pas les autres ..

Pour la 3 j'ai fais ceci :

Calcul de la fréquence d'apparition de boules blanches :

f= 100/400 = 0,25

Recherche d'un intervalle de confiance :

I = \left[0,25 - \frac{1}{\sqrt{400}}; 0,25 + \frac{1}{\sqrt{400}} \right]
I = \left[0,2 ; 0,3 \right]

Ceci signifie qu'il y a 95% de chance pour que la proportion de boules blanches dans l'urne appartienne à cet intervalle



j'ai fais la même chose pour les autre couleurs et je trouve ceci :

boules noires :

I= (0,28 ; 0,38)

boules rouges :

I = (0,36 ; 0,46)

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 18:56

Pour la dernière question j'en déduis que :

on peut simplement affirmer qu'il y a plus de boules rouges que de blanches au vu des intervalles de confiance,

dans les deux autres cas les intervalles se chevauchent et donc il n'est pas possible d'avancer qu'il y a plus de boules d'une certaines couleur que d'une autre.


Pour cette question (si mes affirmations sont bonnes) comment doit-on justifier ?
cela suffit-il ?

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 19:08

ozpacker @ 16-10-2019 à 18:18

excusez-moi mais j'ai une personne qui me dit que mon résultat est bon et une autre non ?
que dois-je retenir ?

l'intervalle à 10^-2 pres est le meme ou presque.

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 19:10

ozpacker @ 16-10-2019 à 18:28

"pour la suite il faut regarder si les proportions observees sont ou non dans l'intervalle de fluctuation"

donc je dois faire 26/100 = 0,26 donc bien dans l'intervalle

mais pour le reste ? je ne vais comparer les boules noires ou rouges avec le même intervalle étant donné que je l'ai calculé avec p=1/3 ?

je ne comprend pas tout

relis la question c'est bien le meme intervalle de fluctuation (proportions egales signifie 1/3-1/3-1/3)

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 19:17

Question 3/ les intervalles sont justes.
"on peut simplement affirmer qu'il y a plus de boules rouges que de blanches au vu des intervalles de confiance," pourquoi ?

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 19:31

"relis la question c'est bien le meme intervalle de fluctuation (proportions egales signifie 1/3-1/3-1/3)"

j'ai regardé mais je ne vois pas ou c'est écris 1/3 1/3 1/3 ... simplement pour les boules blanches, de plus cela voudrait dire que les 1er résultats ne sont pas utilisés de l'exercice ?


"

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 19:32

0,26 : 0,40 ; 0,34

sont tous les trois dans l'intervalles que j'ai calculé à la question 1 ...

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 19:34

donc tu as la reponse

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 20:40

donc on ne peut pas affirmer qu'elles ne sont pas égales dans l'urne ?

car si elle sont toutes dans le même intervalle il est possible que la proportions soit la même

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 20:41

mais je comprends vraiment pas pourquoi on se sert de cet intervalle (celui que j'ai calculé) des le début pour répondre à ces questions car pour moi 1/3 ne concerne que les boules blanches

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 20:44

"Question 3/ les intervalles sont justes.
"on peut simplement affirmer qu'il y a plus de boules rouges que de blanches au vu des intervalles de confiance," pourquoi ?"

et bien pour moi au vu des intervalle on ne peut pas dire par exemple qu'il y a plus d éboulés noires que de boules blanches car
I (boules noires) = (0,28 ; 0,38)
I (boules blanches) = (0,2 ; 0,3)

si cela se chevauchent ça ne peux pas être supérieur car cela peut être égale

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 16-10-19 à 22:00

1/ dire que les proportions sont egales signifie que ces proportions sont 1/3, 1/3, 1/3

ozpacker @ 16-10-2019 à 20:40

donc on ne peut pas affirmer qu'elles ne sont pas égales dans l'urne ?

car si elle sont toutes dans le même intervalle il est possible que la proportions soit la même
oui

ozpacker @ 16-10-2019 à 20:44

"Question 3/ les intervalles sont justes.
"on peut simplement affirmer qu'il y a plus de boules rouges que de blanches au vu des intervalles de confiance," pourquoi ?"

et bien pour moi au vu des intervalle on ne peut pas dire par exemple qu'il y a plus d éboulés noires que de boules blanches car
I (boules noires) = (0,28 ; 0,38)
I (boules blanches) = (0,2 ; 0,3)

si cela se chevauchent ça ne peux pas être supérieur car cela peut être égale

oui

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 17-10-19 à 07:00

Je repose une question par rapport à votre réponse, vous dite « dire que les proportions sont égales signifie que ces proportions sont 1/3 1/3 1/3 »

Je comprends bien cette phrase, mais à quel moment affirme t'on cela ? Pour moi on nous parle que des boules blanches ...
Désolé mais je veux vraiment comprendre en détail le sujet.

Voici le texte :

Une boite contient des boules. Il y a trois couleurs différentes, blanches, noire et rouges. On ne connait pas le nombre de boule de chaque couleur. Les boules son indiscernables au toucher. On ne peut prendre qu'une boule à la fois, et avant d'en prendre une deuxième, on doit remettre la première dans l'urne. Afin de déterminer la proportion de boules de chaque couleur, on ne peut donc qu'effectuer des tirages successifs et avec remise d'une boule après l'autre. Les résultats seotn exprimé à 10^-2 près.

1) 1er tirage de 100 boules : ce qui donne 26 boules blanches, 40 boules noires, et 34 boules rouges

- On suppose que la proportion de boules blanches dans l'urne est de 1/3, déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de boules blanches sur un échantillon de taille 100.


Et dernière chose, comment traiter la question 2 ??

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 17-10-19 à 09:03

" peut-on affirmer au seuil de 95% que les proportions de boules blanches, noires et rouges ne sont pas égales dans l'urne ? " dit l'enonce
si elles etaient egales alors les proportions seraient les memes cad 1/3 pour chacune
Or les proportions observees sont dans l'intervalle de fluctuation [0.24;0.43] , on en conclut qu'on peut admettre vraie l'hypothese d'egalite des proportions.
On rejette donc l'hypothese selon laquelle elles ne sont pas egales.
J'avoue quecette question est vraiment tordue !

Question 2/ il faut dire que 1/4=0.25 n'est pas dans l'intervalle de fluctuation et resoudre une (ou deux) inequations.

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 17-10-19 à 09:30

Merci d'avoir pris le temps d'expliqué, car maintenant j'ai compris, tout était dans la question, c'est à nous de dire par rapport à la question que les proportions sont 1/3 1/3 1/3, car ce n'est pas explicitement cité dans l'énoncé,mais j'ai compris la manip, Merci.

Par contre pour la deux je ne comprends pas quelle inéquation car 0,25 est dans l'intervalle de fluctuation

Posté par
alb12
re : Intervalle de fluctuation 17-10-19 à 09:49

il faut que 0.25 ne soit pas dans l'intervalle


 \\ \left[\dfrac13-1.96\sqrt{\dfrac{\frac13\times\frac23}{n}};\dfrac13+1.96\sqrt{\dfrac{\frac13\times\frac23}{n}}\right]
 \\

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 11-12-19 à 10:57

bonjour, désolé je réponds tard par rapport au sujet, mais je refais des exercices pour m'entrainer, et je bloque sur la question 2, ou alb12 à pris le soin de répondre à la fin.

J'ai compris que 0,25 ne dois pas être dans l'intervalle, mais comment faire ce calcul avec n ?

merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : Intervalle de fluctuation 11-12-19 à 13:17

bonjour
en disant que 0,25 c'est à dire 1/4 doit être plus petit que la valeur de gauche et plus grande que la valeur de droite (des bornes de l'intervalle)

Posté par
ozpacker
re : Intervalle de fluctuation 11-12-19 à 13:25

je sais que la reponse est n=134,

Ce que je n'arrive pas à faire c'est trouver 134, car la je les trouver en essayant avec plusieurs valeurs jusqu'a me rapprocher de 0,25

Posté par
malou Webmaster
re : Intervalle de fluctuation 11-12-19 à 13:30

\dfrac 1 4 <\dfrac13-1.96\sqrt{\dfrac{\frac13\times\frac23}{n}}

regrouper 1/4 et 1/3 dans le membre de droite
la racine dans le membre de gauche
simplifier l'écriture sous la racine
et avancer pas à pas jusqu'au moment où tu obtiens n



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