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intervalle réel
Bonjour je bute sur cet exo:
Soit une partie non vide de
.
Montrer que si les relation ,
,
entraînent
, alors
est un intervalle réel.
Bonjour 
Sauf erreur, cette propriété permet de montrer que I est connexe, et donc qu'il s'agit d'un intervalle réel.
Fractal 
Salut Fractal
en fait, je pensais chercher plutôt une solution plus élémentaire qui ne fait pas outil à des notions topologiques.
Dans ce cas, je ne vois pas trop comment faire...
Ton énoncé fait déjà plus ou moins appel à des notions topologiques, je ne vois pas trop comment est-ce qu'on pourrait s'en passer dans la solution.
Qu'est-ce que tu appellerais des outils plus élémentaires?
Fractal
en utilisant que des résultats liés à la définition d'un intervalle de , aux structures d'ordre et de corps de
.
Pas plus 
Ceci dit on peut sûrement dire la même chose que toi sans parler explicitement de connexe. Je vais chercher
Je pense qu'on peut montrer directement que sous ces conditions, on a I = (inf I, sup I) (avec la déf de sup et inf)
Dans ce cas quelle est ta définition d'un intervalle de R?
Si c'est un truc de la forme ]-oo,b] ou ]-oo,b[ ou [a,b] ou ]a,b] ou [a,b[ ou ]a,b[ ou [a,+oo[ ou ]a,+oo[
alors ce doit être faisable... en distinguant tous les cas.
Par exemple, si I est borné, que sa borne sup appartient à I et que sa borne inf n'appartient pas à I, alors il existe une suite strictement décroissante de réels (xi) tendant vers la borne inf de I, et si on appelle M la borne sup de I, tous les intervalles de la forme [xi,M] sont inclus dans I, et par passage à la limite, ]m,M] également.
On en déduit que I = ]m,M] donc qu'il s'agit d'un intervalle.
A part passer ainsi tous les cas en revue, je ne vois pas comment faire autrement...
Fractal
I Salut,
c'est presque la définition d'un intervalle.
Ensuite, il suffit de remarquer que l'union d'intervalle contenant tous un même point est encore un intervalle.
a+
Quand tu vois l'énoncé :
Soit I une partie non vide de R. Montrer que...
et que tu as ce désir :
en utilisant que des résultats liés à la définition d'un intervalle de R, aux structures d'ordre et de corps de R.
=> le tout-puissant théorème de la borne supérieure s'impose : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
Comment ça ? On construit R à partir des axiomes de la théorie des ensembles (comme tout en maths...) et le thm de la borne sup se démontre.
Eh, les copains, ne nous énervons pas! Le tout est de préciser. J'ai toujours pris (en cours) comme axiome la borne supérieure et démontré tout le reste!
'Jour Camélia!
ne nous énervons pas
Pas de risque...On plaisante !
J'ai toujours pris (en cours) comme axiome la borne supérieure
C'est ce que fait le "Tout en un" de Deschamps/Warusfel (tome 2, p 245), ce dont je me souvenais pour avoir préparé la leçon "espaces vectoriels normés" pour l'agreg (tu t'en souviens, Stok!).
Qu'en dis-tu?
Eh, les copains, ne nous énervons pas! Le tout est de préciser. J'ai toujours pris (en cours) comme axiome la borne supérieure et démontré tout le reste!
C'est aussi ce que j'ai vu.
D'ailleurs, la définition que j'avais en sup était:
R est un corps totalement ordonné ayant la PBS, unique à isomorphisme près.
C'est sympa, surtout en sup, quand on comprend tout juste ce que celà signifie.
Entre nous soit dit, quelque soit la définition que l'on prend, et c'est bien celle-ci ma préférée, le premier contact est rude! Les années passant, de plus en plus on a expliqué ce que celà signifiait et on a "omis" de prouver l'unicité à iso près, et ... l'existence! je suis d'ailleurs assez surprise et enchantée par l'apparition d'exos sur les coupures de Dedekind!
Mais on peut bien démontrer cet "axiome" avec les axiomes élémentaires de théorie des ensembles non ? (et l'axiome du choix).
Ou non ?
De mon temps, et il n'est pas si lointain, ce que tu dis était vérifiée Camélia. Pas de démonstration ni d'existence ni d'unicité, seulement une référence dans un livre, la démonstration étant hors programme...
>stokastik Justement tout dépend de la définition. Si c'est celle donnée par otto et moi, c'est bien un axiome.
Si R est, par exemple, le complété de Q, copmme le dit jeanseb, alors bien sûr ça devient un théorème que l'on démontre.
Et donc en construisant R en complétant Q, on n'utilise que les axiomes classiques de théorie des ensembles, et on démontre le théorème de la borne supérieure ?
Salut,
dans mon cours, après la construction des réels, l'auteur présente dans le chapitre des limites le "théorème de la borne sup" comme un corollaire du critère de Cauchy, et le démontre.
Ah ben tiens, dans mon livre, ces deux mêmes personnes le mettent en proposition et non en axiome. Ils sont marrants eux.
Lire:
C'est ce que fait le "Tout en un" de Deschamps/Warusfel (tome 2, p 245), ce dont je me souvenais pour avoir préparé la leçon "espaces vectoriels normés" pour l'agreg (tu t'en souviens, Stok!).
Ah ben tiens, dans mon livre, ces deux mêmes personnes le mettent en proposition et non en axiome. Ils sont marrants eux.
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