Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide sur une question que je me pose. ça a probablement très peu de chances de marcher mais je n'ai pas trouvé de contre-exemple.
Soit une suite à double indice . On suppose que la limite en k puis en n existe et que la limite en n puis en k existe. De plus, on suppose que la limite en n (qui est donc une suite indexée par k) est en fait indépendante de k (ou est la suite constante indexée par k). Peut-on conclure que l'interversion des limites est licite? Sinon, une hypothèse (autre que la convergence uniforme) permettrait-elle de faire marcher ce résultat?
Merci d'avance
Bonjour Foxdevil,
Si j'ai bien compris, tu as :
¤
¤
¤
Cela veut déjà dire que .
Bref, si c'est bien ca, la suite satisfait les hypothèses mais on ne peut pas échanger les limites.
Si tu veux remplacer la convergence uniforme, je pense qu'il faut se tourner vers des arguments tout aussi fort, du type convergence de la suite double, la suite est de Cauchy, ou de la monotonie etc...
Ok, merci Narhm pour la réponse. C'est vrai que ça me paraissait un peu facile.
Je voulais dire que remplacer l'hypothèse "uniforme" par autre chose n'est pas évident, surtout on veut rester dans les généralités.
Un autre critère d'échange par exemple est le suivant : supposons que la suite dans le sens ou
. Alors on a le droit d'échanger les limites si et seulement si
existe.
Après on pourrait s'intéresser à des conditions pour dire que la suite (a_{nk}) converge : a l'aide de suite de Cauchy, ou bien en introduisant une notion de monotonie des suites doublement indicées comme pour les suites au sens classique etc...
Mais j'imagine que ça n'est pas ce sens là qui t'intéresse.
C'est déjà utile.
Pour le critère d'échange peux-tu m'indiquer où en voir la preuve (ou me la donner)? Ainsi qu'éventuellement des corollaire ou propriétés voisines....
Il n'y a rien de compliquer, c'est un raisonnement similaire à ceux de la convergence des suites simples. Voici la preuve :
Le sens est évident.
L'autre sens : notons
et
.
On veut montrer que les suites (x_k) et (y_n) tendent vers a.
Soit alors il existe N tq
, et comme
quand n tend vers l'infini, pour tout k il existe M tq
.
Bon et bien on arrange les deux : pour on a
.
Le même raisonnement te montre que .
Le seul autre théorème d'échange que je connais est avec la convergence uniforme.
Sinon, tu peux calculer beaucoup de chose issue des suites classiques :
Tu peux montrer que toute suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy dans le sens où
(C'est une conséquence du fait qu'une suite complexe simplement indicée est de Cauchy ssi elle converge).
De même, on pourrait définir ce qu'est une suite monotone au sens des doubles indices et en déduire que toute suite monotone bornée converge.
Ok, je te remercie Narhm. Je n'avais jamais vraiment vu ces critères, c'est toujours bon à savoir.
Dans ce cas, je précise un peu "la conséquence".
Le cas => est simple : il se traite comme avec les suites simplement indicées.
Le cas <= : Il faut se ramener à une suite simplement indicée de Cauchy afin de faire apparaitre un bon candidat pour la limite.
Si on a la suite qui est de Cauchy, le meilleur moyen pour revenir à une suite simplement indicée est de prendre la sous suite
.
-Regarde si elle est de Cauchy et si oui elle converge vers un complexe a.
-Vérifie que a est le bon candidat pour la convergence de la suite double .
Ok, je vois.
Elle est évidemment de Cauchy par la propriété en question. On prend ensuite le module de la suite double - a, et en insérant ça devrait fonctionner pour l'epsilonnage....
Bonjour.
Sinon, on peut toujours utiliser les filtres, ce qui est de toute façon le meilleur moyen de traiter des formes de limites plus compliquées en toute généralité.
Une application à valeurs dans un espace complet est convergente suivant un filtre si et seulement si elle est de Cauchy suivant ce filtre. On prend alors le filtre sur dont une base est donnée par les
et tout concorde.
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