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Niveau Licence Maths 1e ann
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Interversion de limites

Posté par
Foxdevil
18-05-11 à 12:21

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'aide sur une question que je me pose. ça a probablement très peu de chances de marcher mais je n'ai pas trouvé de contre-exemple.

Soit une suite à double indice a_{n,k}. On suppose que la limite en k puis en n existe et que la limite en n puis en k existe. De plus, on suppose que la limite en n (qui est donc une suite indexée par k) est en fait indépendante de k (ou est la suite constante indexée par k). Peut-on conclure que l'interversion des limites est licite? Sinon, une hypothèse (autre que la convergence uniforme) permettrait-elle de faire marcher ce résultat?

Merci d'avance

Posté par
Narhm
re : Interversion de limites 18-05-11 à 13:04

Bonjour Foxdevil,

Si j'ai bien compris, tu as :
¤ \rm \lim_{n\to +\infty} \lim_{k\to +\infty} a_{n,k}=\alpha

¤ \rm \lim_{k\to +\infty} \lim_{n\to +\infty} a_{n,k}=\beta

¤ \rm \forall k\in \mathbb{N}, \ \lim_{n\to +\infty} a_{n,k}=\gamma

Cela veut déjà dire que \rm \gamma=\beta.
Bref, si c'est bien ca, la suite 3$ \rm a_{n,k}=\fr{k}{n+k} satisfait les hypothèses mais on ne peut pas échanger les limites.

Si tu veux remplacer la convergence uniforme, je pense qu'il faut se tourner vers des arguments tout aussi fort, du type convergence de la suite double, la suite est de Cauchy, ou de la monotonie etc...

Posté par
Foxdevil
re : Interversion de limites 18-05-11 à 13:13

Ok, merci Narhm pour la réponse. C'est vrai que ça me paraissait un peu facile.

Citation :
je pense qu'il faut se tourner vers des arguments tout aussi fort, du type convergence de la suite double, la suite est de Cauchy, ou de la monotonie etc...
Heu...c'est à dire?

Posté par
Narhm
re : Interversion de limites 18-05-11 à 13:46

Je voulais dire que remplacer l'hypothèse "uniforme" par autre chose n'est pas évident, surtout on veut rester dans les généralités.

Un autre critère d'échange par exemple est le suivant : supposons que la suite 3$ \rm a_{n,k}\rightarrow a dans le sens ou \rm \forall \varepsilon>0,\exists N : n,k\geq N \Rightarrow |a_{n,k}-a|<\varepsilon. Alors on a le droit d'échanger les limites si et seulement si \rm \lim_{n} a_{n,k} \text{ et } \lim_{k} a_{n,k} existe.
Après on pourrait s'intéresser à des conditions pour dire que la suite (a_{nk}) converge : a l'aide de suite de Cauchy, ou bien en introduisant une notion de monotonie des suites doublement indicées comme pour les suites au sens classique etc...

Mais j'imagine que ça n'est pas ce sens là qui t'intéresse.

Posté par
Foxdevil
re : Interversion de limites 18-05-11 à 18:41

C'est déjà utile.



Pour le critère d'échange peux-tu m'indiquer où en voir la preuve (ou me la donner)? Ainsi qu'éventuellement des corollaire ou propriétés voisines....

Posté par
Narhm
re : Interversion de limites 18-05-11 à 21:38

Il n'y a rien de compliquer, c'est un raisonnement similaire à ceux de la convergence des suites simples. Voici la preuve :

Le sens \Rightarrow est évident.
L'autre sens \Leftarrow : notons \rm \lim_{n\to +\infty} a_{n,k}=x_k et \rm \lim_{k\to +\infty} a_{n,k}=y_n.
On veut montrer que les suites (x_k) et (y_n) tendent vers a.
Soit \rm e>0 alors il existe N tq \rm n,k\geq N \Rightarrow |a_{n,k}-a|<\fr{e}{2}, et comme \rm a_{n,k}\rightarrow x_k quand n tend vers l'infini, pour tout k il existe M tq \rm n\geq M \Rightarrow |a_{n,k}-x_k|<\fr{e}{2}.
Bon et bien on arrange les deux : pour \rm n,k\geq \max(N,M) on a \rm |x_k-a|\leq |x_k-a_{n,k}|+|a_{n,k}-a|<e.
Le même raisonnement te montre que \rm y_n\rightarrow a.

Le seul autre théorème d'échange que je connais est avec la convergence uniforme.

Sinon, tu peux calculer beaucoup de chose issue des suites classiques :
Tu peux montrer que toute suite \rm (a_{n,k}) est convergente si et seulement si elle est de Cauchy dans le sens où \rm \forall e>0,\exists N : |a_{n,k}-a_{p,q}|<e \text{ si } p\geq n \geq N, q\geq k \geq N (C'est une conséquence du fait qu'une suite complexe simplement indicée est de Cauchy ssi elle converge).
De même, on pourrait définir ce qu'est une suite \rm (a_{n,k}) monotone au sens des doubles indices et en déduire que toute suite monotone bornée converge.

Posté par
Foxdevil
re : Interversion de limites 19-05-11 à 15:55

Ok, je te remercie Narhm. Je n'avais jamais vraiment vu ces critères, c'est toujours bon à savoir.

Citation :
(C'est une conséquence du fait qu'une suite complexe simplement indicée est de Cauchy ssi elle converge)
ie? Si c'est évident je vais chercher un peu mais là tout de suite ça ne me saute pas aux yeux....

Posté par
Narhm
re : Interversion de limites 19-05-11 à 16:09

Dans ce cas, je précise un peu "la conséquence".

Le cas => est simple : il se traite comme avec les suites simplement indicées.
Le cas <= : Il faut se ramener à une suite simplement indicée de Cauchy afin de faire apparaitre un bon candidat pour la limite.
Si on a la suite \rm (a_{n,k}) qui est de Cauchy, le meilleur moyen pour revenir à une suite simplement indicée est de prendre la sous suite \rm x_n=a_{n,n}.
-Regarde si elle est de Cauchy et si oui elle converge vers un complexe a.
-Vérifie que a est le bon candidat pour la convergence de la suite double \rm (a_{n,k}).

Posté par
Foxdevil
re : Interversion de limites 19-05-11 à 16:19

Ok, je vois.

Elle est évidemment de Cauchy par la propriété en question. On prend ensuite le module de la suite double - a, et en insérant a_{n,n} ça devrait fonctionner pour l'epsilonnage....

Posté par
Narhm
re : Interversion de limites 19-05-11 à 16:39

Exactement

Posté par
Foxdevil
re : Interversion de limites 19-05-11 à 16:53

Dac, je te remercie

Posté par
Arkhnor
re : Interversion de limites 19-05-11 à 17:33

Bonjour.

Sinon, on peut toujours utiliser les filtres, ce qui est de toute façon le meilleur moyen de traiter des formes de limites plus compliquées en toute généralité.

Une application à valeurs dans un espace complet est convergente suivant un filtre si et seulement si elle est de Cauchy suivant ce filtre. On prend alors le filtre sur \mathbb{N}^2 dont une base est donnée par les I_N = \{(i,j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, i \ge N, \, j \ge N \} et tout concorde.

Posté par
Foxdevil
re : Interversion de limites 19-05-11 à 20:16

Salut, je n'ai jamais vraiment utilisé la notion de filtres....mais je vais regarder ça de plus près.



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