Salut !

Pour intervenir somme et intégrale, tu dois utiliser le corollaire de Beppo Levi. C'est en licence de maths (bac + 3) qu'on étudie cela !

Soit f : [o;+ infini[ dans R
             x   associe exp(iax-kx)

f est continue sur [o; + infini[ donc f est mesurable  sur [o; + infini[ et positive.
On utilise donc le corollaire de Beppo Levi pour les séries positives. On a donc l'égalité.

on peut se débrouiller avec un niveau de math spé...

Le théoremen de la convergence dominée peut etre utilisé aussi ...

il suffit donc de donner la fonction positive par laquelle on peut dominer...
Bonne recherche...

personne n'a trouvé par quelle fonction dominer ?

Il vaudrait mieux utiliser le théorème de Fubini ici, non?

Salut,
n'y a t'il pas un petit problème de définition de ton membre de gauche lorsqu a= puisque si je ne me trompe pas on tombe sur la série qui diverge

a est réel...

je voulais mettre lorsque a=0

Tu as f(k,x)=exp(iax-kx)=exp(iax)exp(-x)^k

Ainsi |f(x)| <= exp(-kx) qui si je ne m'abuse est intégrable sur R+.
Or l'intégrale de la valeur absolue est supérieure à la valeur absolue de l'intégrale, et on aboutit au fait que f(x,k) est intégrable, pour tout k.

Ensuite, on a que
somme des f(x,k) sur k
est égale à
somme des exp(iax)exp(-x)^k
est égale à
exp(iax)somme des exp(-x)^k
qui est sommable, et même est égale à
exp(iax)exp(-x)(exp(kx)-1)/(exp(x)-1)
et on applique le théorème de Fubini.

Sauf erreur
A+