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Niveau Maths sup
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intregraale

Posté par
choueibou
10-10-15 à 23:43

salut!  
je bloque sur un exo
sin²t/t²  dt on nous d 'etudier la nature

Posté par
mdr_non
re : intregraale 10-10-15 à 23:46

bonsoir : )

même pas une idée ? f(t) = sin²(t)/t², en 0 y a-t-il un problème ?
à l'infini f(t) tend vers quoi ?

Posté par
choueibou
re : intregraale 10-10-15 à 23:48

en O ca tend vers  mais  linfin  je suis perdue :/   je sais que f(t) est superieure a p

Posté par
mdr_non
re : intregraale 10-10-15 à 23:56

en zéro ça tend vers quoi ?

sin(t)/t = (sin(t) - sin(0))/(t - 0)


à l'infini, théorème des gendarmes...

Posté par
redoine
re : intregraale 10-10-15 à 23:58

Soit t un réel
sin(t) appartient à quelle intervalle ?
Donc sin²(t) appartient à quelle intervalle ?

Maintenant, si t est un réel non nul
\frac{sin²(t)}{t²} tend vers quoi quand t tend vers l'infini ?


Pour cette étude, comme le sous-entend mdr_non que je salue, en justifiant l'existence de ton intégrale tu auras répondu à la question.
Car étudier la nature d'un objet sous entend en fait, s'il existe, si c'est une limite, est-ce qu'elle existe, est-elle finie ou infinie ? etc.

Posté par
choueibou
re : intregraale 10-10-15 à 23:59

EN O ca tend vers 1 et en + infin ca tend vers 0

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:02

sint appartient à l intervalle -1 et 1  

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:04

sin²t  entre o et 1

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:10

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 00:12

salut redoine : )

Citation :
EN O ca tend vers 1 et en + infin ca tend vers 0
ok, donc en 0 aucun souci, on peut considérer un prolongement par continuité, et dans ce sur l'intervalle [0 , 1] par exemple l'intégrale converge (f est intégrable)

à l'infini maintenant, tu penses que l'on devrait utiliser quel théorème ? (comparaison ? équivalence? domination/négligeabilité ?...)

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:25

sin²t est une fonction bornee et 1/t² tend vers O

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:31

domination je pense  ??

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 00:35

Citation :
sin²t est une fonction bornee et 1/t² tend vers O
oui ok, maintenant on parle de l'intégrabilité de la fonction f,

on a vu que en 0, on peut prolonger f par continuité en posant f(0) = 1, et alors \int_0^1 f(t)dt converge puis f est intégrable sur ]0 , 1]

reste maintenant à traiter l'intervalle [1 , +infini[


Citation :
domination je pense  ??
essaye, si tu arrives à conclure c'est bon,

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:40

a infin  f(t)=0 alors f(t)converge
c'est ca ??

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 00:44

non pas du tout,

g(t) = 1/t tend vers 0 à l'infini alors que : \int_1^\infty \frac{dt}{t} = \infty !

quand tu as dit "domination" tu vais dit au hasard ?, tu ne sais pas ce que c'est ?


bon, utilise une majoration, majore sin²(t)/t² et utilise le critère de Riemann,

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:50

je n'y arrive pas

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 00:55

pourquoi ?

Citation :
utilise une majoration, majore sin²(t)/t²

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 00:58

pardon vous dites que sin²t est compris entre 0 et 1

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 01:00

si je me base sur ca j'aurais que sin²t/t² 1/t²  or a +inf ca tend vers O donc sin²t/t² tend vers 0

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 01:09

ou 1/t² converge d'apres lo critere de majoration......

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 01:12

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 01:26

vais majorer  ca comment

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 09:38

Citation :
si je me base sur ca j'aurais que sin²t/t² 1/t²  or a +inf ca tend vers O donc sin²t/t² tend vers 0
Tu as déjà écrit ceci plusieurs fois et de plusieurs façons différentes et on t'a dit que c'était bon.

Tu dois comprendre que ce n'est pas le but de l'exercice,
le but n'est pas d'étudier la convergence (ou non convergence) de f : t \mapsto \sin^2(t)/t^2 mais plutôt d'étudier la convergence (ou non converge) de l'intégrale impropre \int_0^\infty f(t)dt.

Cependant, pour étudier la nature de l'intégrale \int_0^\infty f(t)dt, on commence (toujours) par étudier la fonction f.

*** *** ***

Bon avec quelques exemples, nous allons étudier quelques intégrales impropres.


1) Calcul par recherche de primitives

\boxed{*} \int_0^{+\infty} 1 dt
t \mapsto 1 est définie et continue par morceaux sur [0 , \infty[ et
\int_0^x 1 dt = x \xrightarrow[x \to \infty]{ } +\infty. Donc \int_0^{+\infty} 1 dt diverge.

   *** Tu vois qu'ici on a pu calculer directement l'intégrale car on sait calculer une primitive de la fonction t \mapsto 1 qui est t \mapsto t.


\boxed{*} \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}
t \mapsto 1/t est définie et continue par morceaux sur [1 , \infty[ et
\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln{x} \xrightarrow[x \to \infty]{ } +\infty. Donc \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} diverge.

   *** A nouveau ici, on a su trouver une primitive de la fonction inverse t \mapsto 1/t et donc calculer l'intégrale directement.


\boxed{*} \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}
t \mapsto 1/t^2 est définie et continue par morceaux sur [1 , \infty[ et
\int_1^x \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{x} + 1 \xrightarrow[x \to \infty]{ } 1. Donc \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge et \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} = 1


\boxed{*} \int_0^{1} \frac{dt}{\sqrt{t}}
t \mapsto 1/\sqrt{t} est définie et continue par morceaux sur ]0 , 1] et
\int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 - 2\sqrt{x} \xrightarrow[x \to 0]{ } 2. Donc \int_0^{1} \frac{dt}{\sqrt{t}} converge et \int_0^{1} \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2



Un résultat connu, les intégrales de Riemann,
\int_1^\infty \frac{dt}{t^{\alpha}} converge si, et seulement si, \alpha > 1.
\int_0^1 \frac{dt}{t^{\alpha}} converge si, et seulement si, \alpha < 1.


Il arrive maintenant des situations où on est incapable de trouver une primitive de la fonction à intégrer et dans ce cas on peut employer d'autres outils pour calculer l'intégrale. Ces autres méthodes ont plus ou moins le même schéma : "comparer" la fonction (dont on ne sait pas trouver une primitive) à une autre fonction plus simple.

Voici quelques-uns de ces outils :

a) Comparaison de fonctions positives
Soient f,g : I \to \mathbb{R} deux fonctions continues par morceaux telles que 0 \leq f \leq g,
\int_I g \text{ converge}  \Rightarrow  \int_I f \text{ converge}
\int_I f \text{ diverge}  \Rightarrow  \int_I f \text{ diverge}


b) Calcul par opérations sur les fonctions
\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}
Soient f,g : I \to \mathbb{K} deux fonctions continues par morceaux et \lambda, \mu \in \mathbb{K}.
f et g intégrables \lambda f + \mu g intégrable.


c) Calcul par opérations sur les intervalles
a, b \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}, c \in \mathbb{R}, f intégrable sur ]a , b[ f intégrable sur ]a , c] et sur [c , b[


d) Comparaison asymptotique
a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}, f, g [a , b[ \to \mathbb{C} continues par morceaux,
  f(t) \underset{t \to b^{-}}{=} O(g(t)) et g intégrable f intégrable
  f(t) \underset{t \to b^{-}}{=} o(g(t)) et g intégrable f intégrable
  f(t) \underset{t \to b^{-}}{\sim} g(t), f intégrable g intégrable


Il faut maintenant savoir les utiliser...

\boxed{*} \int_0^{1} \frac{\cos(t)}{\sqrt{t}}dt
f : t \mapsto \cos(t)/\sqrt{t} est définie et continue par morceaux sur ]0 , 1].
(La borne qui pose problème ici est 0, en effet f(t) \underset{t \to 0^+}{\rightarrow} +\infty)
Cependant f(t) \underset{t \to 0^+}{\sim} 1/\sqrt{t}, or d'après le critère de Riemann t \mapsto 1/\sqrt{t} est intégrable sur ]0 , 1] on déduit que f est intégrable sur ]0 , 1] (d'après d)). Donc \int_0^{1} \frac{\cos(t)}{\sqrt{t}}dt converge.


\boxed{*} \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^4 + 1}dt
f : t \mapsto 1/(t^4 + 1) est définie et continue par morceaux sur [1 , \infty[.
f(t) \underset{t \to +\infty}{\sim} 1/t^4, or d'après le critère de Riemann t \mapsto 1/t^4 est intégrable sur [1 , \infty[ on déduit que f est intégrable sur [1 , \infty[. Donc \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^4 + 1}dt converge.


...

Ton exercice maintenant,
\boxed{*} \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2}dt
f : t \mapsto \sin^2(t)/t^2 est définie et continue par morceaux sur ]0 , \infty[.
f(t) \underset{t \to 0^+}{\sim} t^2/t^2 = 1. Ainsi la fonction f est prolongeable par continuité en 0 et l'intégrale est faussement impropre en 0. Par suite f est intégrable sur ]0 , 1].
(Il nous reste maintenant l'intervalle [1 , +\infty[ et on pourra utiliser c).)

Une façon : De plus, \forall t \in [1 , +\infty[  0 \leq f(t) \leq \frac{1}{t^2}, or d'après le critère de Riemann t \mapsto 1/t^2 est intégrable sur [1 , \infty[ on déduit que f est intégrable sur [1 , \infty[ (en utilisant a)).
Et finalement \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2}dt converge.

Autre façon : De plus, t^{1+\frac{1}{2}}\times f(t) = \sin^2(t)/\sqrt{t} \underset{t \to +\infty}{\rightarrow} 0  \Rightarrow  f(t) \underset{t \to +\infty}{=} o\left(1/t^{\frac{3}{2}}\right). Or d'après le critère de Riemann t \mapsto 1/t^{\frac{3}{2}} est intégrable sur [1 , \infty[ on déduit que f est intégrable sur [1 , \infty[ (en utilisant d)).
Et finalement \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2}dt converge.

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 09:45

Lire :

Il arrive maintenant des situations où on est incapable de trouver une primitive de la fonction à intégrer et dans ce cas on peut employer d'autres outils pour étudier la nature de l'intégrale. Ces autres méthodes ont plus ou moins le même schéma : "comparer" la fonction (dont on ne sait pas trouver une primitive) à une autre fonction plus simple.

Voici quelques-uns de ces outils :

a) Comparaison de fonctions positives
Soient f,g : I \to \mathbb{R} deux fonctions continues par morceaux telles que 0 \leq f \leq g,
\int_I g \text{ converge}  \Rightarrow  \int_I f \text{ converge}
 \\ \int_I f \text{ diverge}  \Rightarrow  \int_I g \text{ diverge}

Posté par
choueibou
re : intregraale 11-10-15 à 10:30

merci mdr_non ...  j'avais eu un blocage  sur caa  merci avec votre resume j'ai bien compris

Posté par
mdr_non
re : intregraale 11-10-15 à 10:33

oui tu dois relire ton cours, et t'exercer,

de rien : ) et bonne continuation : )



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