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Introduction aux séries de Fourier

Posté par
mousse42 11-10-18 à 19:42

Bonjour

Je n'ai pas de piste pour montrer cette implication, (il me semble que j'ai vu une question de ce genre sur le forum, mais ça remonte à des mois.)


On a f\in \mathcal{C}^0([-\pi,\pi],\mathbb{R})

Si \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(t) \cdot dt =0 et \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(t) \cdot dt =0 alors pour tout t\in[-\pi,\pi], f(t)=0

L'objectif est de montrer que (on est dans les séries de Fourier, donc on sait ce qu'est a_n et b_n) :

Citation :

Proposition : Fonction nulle
Soit f une fonction continue et 2\pi périodique. Si a_n=b_n=0 pour tout n\in \mathbb{N} alors f est la fonction nulle


Mais j'aimerais travailler sur la première implication.

Merci

Posté par
lafol Moderateurre : Introduction aux séries de Fourier 11-10-18 à 21:22

Bonjour
tu vas avoir du mal à la montrer !
regarde ce qui se passe si f(t) = 1 pour tout t ...

Posté par
mousse42re : Introduction aux séries de Fourier 11-10-18 à 21:40

lafol oui en effet ça donne 0, j'ai tenter de simplifier le problème et fait une recherche sur [-\pi/2,\pi/2], et ce n'est pas ce qui est demandé.

Posté par
lafol Moderateurre : Introduction aux séries de Fourier 11-10-18 à 21:53

ça ne t'étonnait pas que ça suffise que a_1 = b_1 = 0 ?

Posté par
mousse42re : Introduction aux séries de Fourier 11-10-18 à 22:00

mon problème c'est que je n'arrive pas à comprendre la problèmatique

Car pour tout k\in \mathbb{N},       \quad  \int_{-\pi}^{\pi} g(kt)\cdot dt =0 avec g la fonction \sin ou \cos

De plus la fonction f:x\to 1 est 2\pi périodique.

Je reprendrai tout ça demain.

merci

Posté par
lafol Moderateurre : Introduction aux séries de Fourier 11-10-18 à 22:10

tu as oublié a_0 ....

Posté par
mousse42re : Introduction aux séries de Fourier 11-10-18 à 22:17

lafol , ah merci  l'intégrale me donne 2\pi\ne 0

Posté par
luzakre : Introduction aux séries de Fourier 12-10-18 à 08:44

Il y a en effet un résultat concernant une fonction continue 2\pi-périodique dont tous les coefficients de Fourier sont nuls : alors la fonction est nulle mais la démonstration est loin d'être simple.

On le fait en utilisant la relation de Parseval en remarquant que si la série de Fourier est nulle, elle converge uniformément.

..............................
Simplifier un théorème qui dit "pour tout n,\;a_n=b_n=0"  en utilisant seulement n=1, tu as peu de chances d'y arriver !

Posté par
mousse42re : Introduction aux séries de Fourier 12-10-18 à 08:56

luzak, merci pour tes explications.


Je voulais simplifier pour comprendre le problème (phase d'observation)


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