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Niveau Maths sup
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Inverse d'une permutation

Posté par
Milka3
24-07-19 à 18:52

Bonjour,

Je cherche à calculer l'inverse de la permutation suivante :
\sigma =\begin{pmatrix} 1 2 3 4 5 6 \\ 425631 \end{pmatrix}
J'ai écris \sigma = (146)(35) et après j'hésite.

Puis-je écrire simplement que \sigma {-1}= (641)(53).
Je me perds dans les notations !

Pouvez-vous m'aider ?

Posté par
mousse42
re : Inverse d'une permutation 24-07-19 à 18:58

Salut
Note que \tau^{-1}=\tau (transposition)

Posté par
Raptor
re : Inverse d'une permutation 24-07-19 à 19:05

Bonjour,

Pour calculer l'inverse de la permutation tu prend la 2éme ligne et tu fais l'image de la 2éme ligne sur la 1ére.
1 donne 6
2 donne 2
3 donne 5
4 donne 1
5 donne 3
6 donne 4

Pas dur non ?

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 24-07-19 à 21:12

salut

si t est une transposition alors t^2 = I (identité)
si s est un cycle d'ordre trois alors s^3 = I

donc l'inverse de t est t et l'inverse de s est s^2

si w = st  où s et t sont disjoints alors que vaut n pour que w^n = I ?

quekl est alors l'inverse de w ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 10:13

Bonjour,
Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

Je détaille le message de Raptor :
Echanger les 2 lignes dans \sigma =\begin{pmatrix} 1 2 3 4 5 6 \\ 425631 \end{pmatrix}
On obtient \begin{pmatrix} 425631\\ 123456 \end{pmatrix} . Puis ordonner les colonnes pour avoir 123456 en haut .

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 12:34

je ne sais pas si c'est plus simple ...

Posté par
djaraf
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 14:24

Je trouve que la réponse de Mika3 est  aussi correcte  -1= (641)(53).

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 14:52

écrire (53) au lieu de (35)est révélateur ...

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 15:30

Merci pour toutes vos réponses.
Effectivement, quand j'utiliser l'écriture matricielle, je m'y retrouve.
En revanche, j'ai du mal avec l'écriture simplifiée.

\sigma = (146)(35) est-ce la même chose que \sigma = (461)(53) ?

Posté par
mousse42
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 15:51

Tu devrais aller voir ici

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 16:40

il est évident que (35) = (53) ...

ce qui est aussi le cas pour (146) = (461) = (614)

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 16:40

as-tu lu mon msg de 21h12 ?

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 17:56

Il faut que n=6.
En effet :
si w=s o t avec t2=I et s3=I
alors en calculant successivement jusqu'à w6, je trouve l'identité.
La commutativité est assurée du fait que les supports soient disjoints.

Donc l'inverse de w c'est w5.

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 25-07-19 à 18:00

En fait mon problème, qui n'en est pas un, c'est l'écriture :
(146) se lit l'image de 1 c'est 4 ; l'image de 4 c'est 6 ; l'image de 6 c'est 1

Donc (146)=(461)=(614).

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 26-07-19 à 13:25

c'est la convention de l'écriture d'un cycle ...

effectivement je ne vois pas où est le pb ...

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 12:51

Oui.
Après, il est possible qu'il y ait des erreurs dans les documents consultés. Par exemple ici :



Il est écrit (1.2 Le groupe symétrique, après le théorème) que :

c1 = (231)
c2 = (312)

N'est-ce pas la même chose ?

malou > mise du lien sous balises

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 13:57

je ne vois pas dans le document tes c1 et c2 ...

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 14:10

C'est page 2, après le théorème.
Il est évoqué, S1 puis S2 et enfin S3.
Parmi les éléments S3, on y trouve c1 et c2
https://www.noelshack.com/2019-30-7-1564315783-capture-d-ecran-2019-07-28-a-14-09-20.png

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 14:51

ha ok

c1 est la permutation :

1  2  3
2  3  1

c2 est la permutation :

1  2  3
3  1  2

tu peux remarquer que c_2 = c_1^2 ...

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 15:21

c2 = (312)
Ça ne signifie pas que
L'image de 3 est 1
L'image de 1 est 2
L'image de 2 est 3

Soit
1 2 3
2 3 1

Où est mon erreur ?

Posté par
carpediem
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 15:36

on ne dit pas que c'est un cycle mais une permutation ... avec la définition donnée en 1.2 ...

Posté par
Milka3
re : Inverse d'une permutation 28-07-19 à 15:41

Je vois.
(2 1 3) signifie :

1 2 3
2 1 3

(2 1 3) comme cycle signifie :

1 2 3
3 1 2



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