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Inverse de la transconjuguée

Posté par
loicligue 18-09-22 à 16:13

Bonjour!

J'espère que vous passez un bon week-end

Savez vous pourquoi (A^{-1})^{*} = (A^{*})^{-1} ? Avec A une matrice quelconque… Et A^* représentant la transconjuguée/adjointe

Bonne après midi

Posté par
Camélia Correcteurre : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 16:32

Bonjour

Je suppose que A est carrée!

Si A et B sont carrées de même taille, que vaut A^*B^*?

Posté par
loicliguere : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 16:51

Oui elle est carrée (pardon!).

Ce que vaut les coeff? Ou bien en formule d'algèbre linéaire du style : (AB)^* = A^* B^*

Posté par
loicliguere : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 16:52

correction : (BA)* = A*B* d'ailleurs !

Posté par
Camélia Correcteurre : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 16:54

On est bien d'accord que pour toi A^*={}^t(\overline A)?
Alors que vaut A^*B^*?

Posté par
loicliguere : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 16:57

Je prends A et B des matrices a valeurs réelles

A^* B^* = (BA)^T ? Ou je suis à l'ouest

Posté par
loicliguere : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 17:03

C'est une propriété de la transposée… Je viens de refaire la preuve pour m'en persuader…

Eh bein… Ça promet… Désolé !!

Posté par
Camélia Correcteurre : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 17:11

Tu n'as pas à être désolé... on apprend!
Donc {}^t(AB)={}^tB{}^tA.
Et si tu prends les conjugués que trouves-tu?

Posté par
Camélia Correcteurre : Inverse de la transconjuguée 18-09-22 à 17:22

Je dois partir. Quelqu'un prendra sûrement ma suite.
Quand tu auras la bonne formule de A^*B^*, prends B=A^{-1}

Posté par
loicliguere : Inverse de la transconjuguée 19-09-22 à 11:08

Oui c'est tout bon merci Camélia ! J'ai tout bien rédigé sur un papier pour bien comprendre

Posté par
Ulmierere : Inverse de la transconjuguée 19-09-22 à 11:57

C'est un fait vrai de manière plus générale pour les opérateurs inversibles entre espaces de Banach possédant un adjoint : pour tous u,v

\langle A^\ast(A^{-1})^\ast u, v\rangle = \langle (A^{-1})^\ast u, Av\rangle = \langle u, A^{-1}Av\rangle = \langle u, v\rangle

Donc A^\ast A^{-1}^\ast = I. Le même calcul en intervertissant A et A^{-1} montre que A^{-1}^\ast A^\ast = I.

Attention quand même parce qu'on n'aura pas toujours A^{\ast\ast} = A en dimension infinie

Posté par
carpediemre : Inverse de la transconjuguée 19-09-22 à 18:02

salut

ouais bien sûr en revenant à la définition représentation des endomorphismes

mais en poursuivant dans la logique de Camélia uniquement avec les matrices :

si A et B sont deux matrices telles que AB = I  donc B = A-1   (1)

alors (AB)* = I* = I donc B*A* = I    donc B* = (A*)-1   (2)

donc on en conclut immédiatement de (1) et (2) que (A-1)* = (A*)-1



la seule propriété à connaitre étant que (AB)* = B*A* (qui s'obtient lorsqu'on considère les endo adjoints sur les duaux)

Posté par
Camélia Correcteurre : Inverse de la transconjuguée 20-09-22 à 15:13

Je n'ai pas besoin de considérer les endos adjoints! C'est immédiat en observant que \overline{AB}=\overline A \times \overline B et {}^t(MN)={}^tN\times{}^tM ce qui se voit par simple calcul!


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