Bonsoir à tous,
J'aimerai savoir comment démontrer que dans un espace vectoriel normé, il y a équivalence entre inversibilité, inversibilité à droite et inversibilité à gauche
Si veut le montrer pour un endomorphisme, on utilise le fait que injectif surjectif
bijectif (par le théorème du rang) et que f inversible à droite
f surjective
f bijective
f inversible
Et f inversible à gauche f injective
f bijective
Non?
Mais je voudrais démontrer que si f : n
n de classe C2, qui est inversible à gauche alors elle est inversible....
Merci de votre aide
Bonjour bouri.
Soit f : A B où A et B sont deux ensembles quelconques.
Être inversible à gauche pour f signifie qu'il existe une application f* : B A telle que f* o f = IdA. (f* s'appelle une rétraction)
Si A est non vide, cela est équivalent pour f à être injective. Donc inversible sur son image.
Que A et B soient des espaces normée ou que f soit C2 ne sont que des cas particuliers.
Merci pour la réponse!
Donc si j'ai une application f : n
n qui est inversible à gauche, j'en déduis qu'elle est injective (donc inversible sur son image) mais je ne peux pas forcément en déduire qu'elle est inversible?
La dimension finie permet-elle de dire que si elle est injective alors elle est surjective?
Une application injective f : A B est inversible en tant qu'application f : A
f(A).
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