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Niveau Master
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inversibilité en dimension finie

Posté par
bouri
03-11-18 à 21:07

Bonsoir à tous,
J'aimerai savoir comment démontrer que dans un espace vectoriel normé, il y a équivalence entre inversibilité, inversibilité à droite et inversibilité à gauche

Si veut le montrer pour un endomorphisme, on utilise le fait que injectif surjectif bijectif (par le théorème du rang) et que f inversible à droite f surjective f bijective f inversible
Et f inversible à gauche f injective f bijective
Non?

Mais je voudrais démontrer que si f : n n   de classe C2, qui est inversible à gauche alors elle est inversible....

Merci de votre aide

Posté par
jsvdb
re : inversibilité en dimension finie 03-11-18 à 21:25

Bonjour bouri.
Soit f : A B où A et B sont deux ensembles quelconques.

Être inversible à gauche pour f signifie qu'il existe une application f* : B A telle que f* o f = IdA. (f* s'appelle une rétraction)
Si A est non vide, cela est équivalent pour f à être injective. Donc inversible sur son image.

Que A et B soient des espaces normée ou que f soit C2 ne sont que des cas particuliers.

Posté par
bouri
re : inversibilité en dimension finie 03-11-18 à 21:33

Merci pour la réponse!
Donc si j'ai une application f : n   n  qui est inversible à gauche, j'en déduis qu'elle est injective (donc inversible sur son image) mais je ne peux pas forcément en déduire qu'elle est inversible?

La dimension finie permet-elle de dire que si elle est injective alors elle est surjective?

Posté par
jsvdb
re : inversibilité en dimension finie 03-11-18 à 21:47

Une application injective f : A B est inversible en tant qu'application f : A f(A).

Citation :
La dimension finie permet-elle de dire que si elle est injective alors elle est surjective ?

Pour des applications quelconques, non, pour des linéaires, oui, c'est le théorème du rang (sous réserve d'avoir même dimension de part et d'autre)



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