Bonjour

Je te rappelle que

oui je connais mon cours sur les projecteurs, je sais aussi que


Im(p)=Ker(Id-p)

voila tout ce que je sais

Bon je bloque toujours, j'ai trouvé quelques petits trucs peut être que ca peut vous aider...
x€Ker(Id - poq) => poq(x)=x => poq(x)=p(x)
Or (p-q)²=p²+q²-qop-poq=p + q - Id - qop = p - Id + q(Id-p)

est-ce que ca peut donner quelque chose (sachant que (p-q)² est bijectif) ?  avec Ker(u) = Im (Id - u) et Im(u) = Ker (Id - u) avec u un projecteur... On est d'accord que poq n'est pas un projecteur ?

Bonjour,

Bon à chaque fois que je poste sur ce forum je reviens proposer ma correction, mais si ca peut aider quelqu'un un jour. Voici ce que j'ai trouvé

1) Si x € Ker(Id-poq) alors
(p-q)²=p²+q²-poq-qop=p(Id-poq)(x)+(q-qop)(x)=q-qop
Or q-qop=q-qopoq-(qop-qopopoq)=q(Id-poq)-qop(Id-poq)=0
donc x € Ker (Id - poq) => x=0

3)Id - (Id-p)(Id-q) est inversible par 1)
Or Id - (Id-p)(Id-q)=Id - Id +q+p-poq=q + p - poq
donc on a bien montré que "machin" était inversible

bonnes journées à tous et toutes

Re,
Tu n'as pas répondu à ma question.
Dans ce que tu as écrit, il y a un x qui apparaît et disparaît : ça ne va pas.
Par contre, quand on regarde de près ce que tu as écrit, on peut trouver un raccourci. Je note la composition comme une multiplication, sans symbole (en faisant attention à la non commutativité, tout de même) et je note 1 l'identité. Alors



Donc, puisque est inversible, a un inverse à gauche qui est un inverse tout court puisqu'on est en dimension finie.
,

On peut aussi remarquer que ce calcul résoud la question 3 directement puisqu'il montre que a un inverse à droite.