of course, les involutions monotones sont continues :
f monotone sur R est continue si, et seulement si, son image est un intervalle, ce qui est bien sur le cas si f est involutive (son image étant R tout entier par surjectivité)...

Bonsoir gothmog,merci pour ta réponse mais j'aimerais bien que tu m'expliques comment on montre le résultat que tu as cité: "f monotone sur R est continue si, et seulement si, son image est un intervalle."
merci d'avance.

le sens direct est le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour la réciproque, dans le cas décroissant par exemple (on obtient le cas croissant avec la fonction $x \longmapsto f(-x)$), on raisonne par contraposée et on suppose, par exemple, que f n'est pas continue à gauche en $x_0$ [on utilise ici le fait qu'une fonction monotone sur R admet une limite à gauche finie $f(x^-) = {\rm inf}_{y < x}f(y)$  et une limite à droite finie $f(x^+) = {\rm sup}_{y > x}f(y)$ en tout point $x$, ie est réglée ; elle est alors continue en $x$ ssi $f(x^-) = f(x) = f(x^+)$. Notons que dans le cas monotone, par exemple dans le cas $f$ décroissant, on a déjà les inégalités $f(x^-) \geq f(x) \geq f(x^+)$]. Toujours dans le cas décroissant, cette hypothèse exprime le fait que $f(x^-) > f(x)$, mais alors aucun point de l'intervalle $]f(x); f(x^-)[$ n'est atteint par $f$ (décroissance de $f$ à nouveau)...

après la fermeture du crochet, il faut bien sûr lire x_0 au lieu de x à chaque fois...

et à la deuxième ligne, entre les crochets, lire décroissante à la place de monotone puisque j'ai donné l'expression...

Corrigé et mis en forme, ça donne :

le sens direct est le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour la réciproque, dans le cas décroissant par exemple (on obtient le cas croissant avec la fonction ), on raisonne par contraposée et on suppose, par exemple, que n'est pas continue à gauche en [on utilise ici le fait qu'une fonction monotone sur R admet une limite à gauche finie   et une limite à droite finie en tout point , ie est réglée ; elle est alors continue en ssi . Notons que dans le cas monotone, par exemple dans le cas décroissant, on a déjà les inégalités ]. Toujours dans le cas décroissant, cette hypothèse exprime le fait que , mais alors aucun point de l'intervalle n'est atteint par (décroissance de à nouveau)...

j'ai oublié de faire la deuxième correction ; décidément ça va pas terrible aujourd'hui

Bonjour gothmog et encore merci pour tes explications.
On sait mainenant qu'une involution monotone est continue.Je me pose la question suivante:
soit une involution décroissante et existe-t-il une bijection continue (ie un homéomorphisme) telle que:
?

En d'autres termes une involution décroissante est-elle topologiquement conjuguée à -id ?
J'ai l'impression que c'est plus délicat...

Bonsoir gothmog;effectivement comme tu l'as exprimé:
Une involution décroissante de est topologiquement conjuguée à .
Démonstration:
soit une involution décroissante considérons la fonction

g est continue décroissante car somme de 2 fonctions continues décroissantes et donc
(car )
c'est donc bien un homéomorphisme de
d'autre part on a bien:
et donc que:

ie:

CQFD

bien vu !!

On peut aussi énoncer le résultat comme ceci:
Dans le groupe des homéomorphismes de toute involution se conjugue à .