Bonjour tout le monde,un exo assez original:
Soit une permutation de ={}telle que o=(n2)
1°)On suppose montrer que est le produit de p transpositions disjointes (1p)
2°)En déduire le nombre d'involutions de
3°)Donner la valeur de

Salut
pour le 1 c'est assez facile
en effet on sait que chaque permutation peut s'écrire en produit de cycle disjoint du fait que , on en déduit que les cycles de cette décomposition ne peuvent ^tre que des transopositions.
De plus tu as au plus n/2 transpo disjointe, puisqu'il n'y a que n éléments.
je regarde la suite après.

Pour la suite il te suffit de savoir le nombre de transposition qu'il y a dans Sn c'est à dire si je ne me trompe pas.
Je te laisse un peu cherché si tu bloques reposte dans le même topic

Bonjour titimarion;
ce sont des transpositions disjointes alors que est le nombre de toutes les tanspositions de donc à mon avis il faut dénombrer l'ensemble {{,},..{,}} avec 1pn/2 et 2p éléments distincts de
on peut raisonner intuitivement comme ceci:
il y'a (2 parmi n)façons de choisir la 1ère paire {,} puis il y'a (2 parmi n-2) façons de choisir la 2ème paire {,} et ainsi de suite jusqu'à (2 parmi n-2(p-1))façons de choisir la pième paire {,} on peut donc écrire (sauf erreur):
= (le cas p=0 correspond à =)

Je n'ai jamais dis qu'il n'y avait que n(n-1)/2 involution, j'ai dis qu'il te suffisait de savoir ca pour trouver la question suivante et c'est ce que tu as fait.
Cependant p=0 n'est pas une involution donc il te faut sommer a partir de p=1

Ok titimarion j'avais mal compris ce que tu as dis ;
mais est bien une involution et si on somme de p=1 comme tu dis on va pas la compter ,on convient alors qu'elle est produit de 0-transpositions (disjointes) tout comme une transposition (qui est une involution)peut se voir comme produit de 1-transposition (disjointe)

Pour la question 3 on voit que:
d'où en séparant les cas n pair et n impair(avec le changement p=n-p);

et

et on voit donc que: