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IR n est pas dénombrables
Bonjour,
Pouvez vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plaît?
Merci d'avance
On dit q'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec IN.
-IR n'est pas dénombrables
a. Montrer que si IR est dénombrable, alors I=[0;1[ l'est aussi.
b.On suppose I dénombrable. Soit alors phi:IN-->I une bijection. Pour n appartient IN, on considère le développement décimal illimité propre de phi(n):phi(n)=0,dn,0dn,1,...,dn,p,... sont des chiffres et ce développement ne se termine pas par une infinité de 9 consécutifs. Vous admettrez que tout élément de I possède un et un seul développemment de cette sorte et que, réciproquement, tout développement de cette sorte est le developpement d'un élément de I). On choisit, pour tout n appartient à IN, un chiffre an différent de dn,n et de 9. Que pourvez-vous dire du réel 0,a0a1...ap...?
c. Concluez. Remarque: la méthode utilisée s'appelle la méthode de la diagonale de Cantor).
Re,
Pour a. je propose:
IR est dénombrable donc il est en bijection avec IN.
Et fait, je n'ai jamais fait de démonstration de ce genre (montrer qu'un ensemble est en bijection avec un autre). Je pense maintenant que je n'ai pas bien compris cette notion de bijection d'un ensemble avec un autre.
Pouvez vous m'aider pour la a. s'il vous plaît? C'est pour cela que je n'arrive pas à faire l'exo.
Merci d'avance
Bonjour Henry
En supposant que 
est dénombrable, pour montrer que [0,1[ est dénombrable, on va y aller en plusieurs étapes.
On va d'abord montrer que ]0,1[ est dénombrable.
Considérons d'abord l'application f : x
définie sur ]0,1[.
On montre facilement que f est une bijection de ]0,1[ dans.
Ainsi il existe bien une bijection entre ]0,1[ et 
. Notons cette bijection g.
Considérons l'application h définie sur [0,1[ telle que h(0)=0 et telle que pour x non nul, h(x)=g(x)+1.
Comme g est une bijection entre ]0,1[ et , alors on voit assez facilement que la restriction de h à ]0,1[ est une bijection de ]0,1[ dans *. Comme on impose h(0)=0, alors on en déduit que h est une bijection de [0,1[ dans , d'où [0,1[ est dénombrable.
Voilà
Kaiser
Soit x = 0,a0a1...ap...
x appartient à I
Soit m son antécédent par phi : x=phi(m)
La m-ième décimale de x est :
a) am, par construction de x
b) dm,m
Donc am=dm,m. Contradiction.
Re,
Nicolas_75 pouvez vous m'expliquer plus en détail car après avoir étudié votre réponse je ne comprends toujours pas. De plus, que veut dire par construction et pourquoi avoir a) et b) (sans doute pour différencier quelque chose mais quoi et quoi)?
Merci encore
Bonsoir Henry
En fait, ce que Nicolas_75 voulais dire en écrivant a) et b) c'est non seulement que la (m+1)-ième décimale (et non pas la m-ième) vaut am par construction de x (c'est-à-dire d'après la définition qu'on lui a donné) mais qu'elle vaus aussi dm,m par définition de 
.
D'où la contradiction, puisque l'on a supposé que cette égalité était fausse pour tout n.
kaiser
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