Salut Nightmare

Ce genre de questions est extrêmement délicat, je crois que chaque cas est à traiter séparément.En tous cas on ne peut rien déduire du fait que e et sont irrationnels, et même pires transcendants (à svoir racines d'aucun polynôme non nul à coefficients rationnels).

Le plus bel exemple de cela est la célèbre formule d'Euler qui affirme (entre autres!) que est rationnel (puisqu'égal à -1), alors que e et sont transcendants.

Cette formule fut d'ailleurs longtemps considérée comme mystique puisqu'elle relie les 5 nombres les plus "importants" que sont e, i, , 1 et 0 (en l'écrivant ) par une relation qui serait comme une clé del'Univers

Mais à part cette parenthèse culturelle, je ne peux malheureusement pas t'en dire plus long sur le sujet, à part que - e est en effet irrationnel!

Tigweg

Bonsoir Nightmare.

Dans le livre de Jean Pierre ESCOFIER (Théorie de Galois), il est indiqué p. 48 que l'on ne sait toujours pas si des nombres tels que e + sont ou non transcendants.
Par contre, en ce qui concerne leur "irrationnalité", je ne vois pas de raisonnement élémentaire.
Je serais également très intéressé, imaginant qu'il s'agit de prouver que le Q-ev engendré par les (e - )ⁿ n'est pas de dimension finie.
A plus RR.

Salut Tigweg

Merci de ta réponse.
En effet cette égalité est très jolie, et ce qui est encore plus magnifique, c'est qu'en mélangeant ces irrationnels avec un complexe on tombe sur un rationnel.


Jord

Salut raymond

Oui j'avais vu aussi sur le net cette indécision sur la transcendance de e+pi ce qui m'a fait douté sur l'éventuelle simplicité de la démonstration de l'irrationnalité de notre différence ...

Ais-je ajouté un élément à la liste de Hilbert?

Et même sur un entier! Oui, c'est fou!
Je t'en prie (et désolé de ne pas pouvoir t'en dire plus!)

Bonsoir Raymond!
Finalement, peut-être ne sait-on pas non plus si e- est rationnel ou non, j'ai un doute?

Tigweg

J'ai tenté de suivre la recherche dans ce domaine.
Par exemple :
Sandra Delaunay travaille sur ce thème par le biais du théorème des six exponentielles,
Martine Queffélec passe par les complexités des suites de 0 et 1 (théorie des codes).
mais j'avoue avoir abandonné, trop fou pour mon petit cerveau.
Cordialement RR.

Mais connais-tu le résultat, Raymond?

Sais-t-on oui ou non si e-est irrationnel?

Bonsoir Tigweg.
e - est-il rationnel ?
Depuis le message de Nightmare (pour une fois le surnom n'est pas usurpé!) je suis plongé dans toutes mes notes accumulées lorsque je suivais tout cela de près. Je doûte maintenant de la réponse et je crois que je vais passer une nuit studieuse.
Je sais simplement que l'on est actuellement incapable de prouver sa transcendance ou non
A plus RR.

Bonsoir H_aldnoer.
Cette théorie cherche, au travers d'une suite aléatoire de 0 et de 1 (ou plus généralemet d'un alphabet fini de symboles) les éventuelles périodes, symétries, ...
Cette théorie a pour but de tenter de vaincre "l'aléatoire apparent".
Tout un vocabulaire tès spécifique est attaché à cette théorie qui débouche (parait-il) sur :
¤l'informatique :
simulation des nombres au hasard
erreurs de transmission des séquences (voir cours de Sabah Al Fakir : théorie de Galois et codes chez Ellipses)
¤ génétique : étude de la chaîne d'ADN
¤ physique des solides avec les quasi-cristaux (initialement pavages de Penrose)
¤ dynamique discrète : trajectoires périodiques ou non du rebond d'une boule suivant les bords d'un billard aux contours plus ou moins bizarres.
A plus RR.

>Nightmare: Par contre il y a des exemples de nombres beaucoup moins compliqués à construire que e ou et dont on ne sait mêmepas s'ils sont rationnels, comme la constante d'Euler, définie comme la limite
(il est très facile de prouver qu'elle existe) de

) - ln n

> Raymond , have nice dreams in this case!

Tigweg


(N.B. : Je savais qu'on ne savait pas encore si e- était transcendant, c'est juste pour rationnel que j'avais un doute)

La réponse est NON ! On ne sait pas si  e+pi, ou e- pi ou  epi etc....sont irrationnels.

Une idée qui pourrait aboutir  : on connait parfaitement comment approcher  e  par des rationnels (c'est à dire en controllant optimalement la taille des dénominateurs).  Hélàs...e  est à peu près le seul nombre "naturel " avec cette propriété, si on pouvait montrer que  pi est approché par des rationnels de manière différente alors nous aurions l'irrationnalité de  e+pi....

Su tu prends  x= 0,11000100000000000000000100000
bref des  1 en position  n !  , x  est transcendant  et très bien approché par des rationnels , ""donc""  e+ x  est irrationnel.(enfin j'espère ne pas me planter)

lolo

Salut lolo et merci de ta réponse

Dans ton exemple, comment vois-tu que



est transcendant?(Cet exemple me rappelle quelque chose, c'est un résultat classique non?Mais je ne vois plus l'argument)


Tigweg

Bonjour.
En effet, c'est un exemple célèbre dû à Liouville en 1844. Ce réel x est transcendant.
Pour revenir au problème initial, on ne sait donc pas décider.
Pour rejoindre l'idée de lolo333, le développement en fractions continues de e est tout à fait remarquable :
e - 2 = [1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,...]
alors que celui de ne l'est pas vraiment :
- 3 = [7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]
A plus RR.

Ah oui voilà, le nombre de Liouville, merci Raymond
Et l'argument qui justifie sa transcendance est simple?

Tigweg

Bsoir,

Voilà comment on démontre sa transcendance sous forme d'exercice :

a) montrez qu'il est irrationnel (c'est évident si on sait que les rationnels ont des décimales ultimement périodiques)

b) Si  a  est algébrique de degré d >1 , et  P  un polynôme annulateur à coefficients entiers , montrez que la valeur absolue de  
P(a) - P(p/q) =<  (a-p/q) c    où  p et  q sont entiers et -1< p/q -a <1  , et c  ne dépend ni de p , ni de q .

c) En déduire que  si  a  est algébrique irrationnel de degré d>1,il existe un réel c'>0 tel que pour tout p, q  entiers
  valeur absolue de  a - p/q > c'/q^d
d) conclure à la transcendance de x .

Bonjour lolo333 et merci, je regarderai ça quand j'aurai un peu de temps

Il a juste une chose qui me paraît un peu bizarre comme ça à première vue dans l'énoncé de la question c) puisque si P est un polynôme annulateur de a on devrait avoir P(a)=0...Or il faut prouver une inégalité avec P(a).
Bref après tout pourquoi pas, peut-être en a-t-on besoin après.

Tigweg

Il y a*

Bonjour
A propos des nombres de Liouville je signale qu'en utilisant un exo du type de celui de lolo333 on peut démontrer que pour toute suite (a_n) formée d'entiers compris entre 0 et 9 et comprtant une infinité de termes non nuls, la somme de la série de terme général a_n10^-n! est un nombre transcendant, ce qui fournit pour le même prix une famille NON DENOMBRABLE de transcendants!
PS: je ne sais pas montrer que e+PI est irrationnel.

Oui Camélia, signalons un autre exemple de famille non dénombrable de nombre transcendant :   e + ix  pour tout  réel  x  (i le complexe)

Merci Camélia, lolo et Raymond pour ces précisions
Tigweg

Tigweg, et ta cure de désintoxication pendant les vacances ???

:D

Salut fusionfroide!
Euh...Je visite aussi un peu, ne t'inquiete pas!!!

Tigweg